H II

v (rt- — ,) eu- , v (a* — r ,) eu

quand le maximum de r,- — tend vers zéro.

Mais Xi est donné si l’est, et rr,- — Xi-, tend vers zéro si o,- — «,• -, tend vers zéro. Donc pour définir l’intégrale d’une fonction continue croissante f (x) on peut se donner les r/,- , c’est-à-dire la division de, l’intervalle de variation de f{x), au lieu de se donner les r,-, c’est-à-dire la division de l’intervalle de variation de x.

En cherchant à opérer de meme, d’abord dans le cas simple des fonctions continues variables dans tout intervalle, et n’ayant qu’un nombre fini de maxima et minima, puis dans le cas d'une fonction continue quelconque on est facilement conduit à cette propriété. Soit une fonction continue f(x ) définie dans («, fi) et variant entre a et />, (a <C b). Choisissons arbitrairement

a = a0 <Z a, <! a2 . . . <C an = b ;

f(x) = G{ pour les points d’un ensemble fermé *>,•,(/ = (), 1. ..?/);

pour les points d’un ensemble, somme d’intervalles, c',-, (i = 0, 1, 2..., n — 1 ;

les ensembles ct- et. é j sont mesurables.

Les deux quantités

V — 2 tti m ( e.i ) + v ai m («',■)» 2 = v tti m ( e{ ) -f- v a,.H m (e\)

tendent vers I f(x)d x quand le nombre des «,• augmente de façon que le

maximum de a,- — tende vers zéro.

Cette propriété obtenue, on peut la prendre pour définition de l’intégrale de f(x). Mais les deux quantités s- et 1 ont un sens pour d’autres fonctions

Lebesgu e:

que les fonctions continues, ce sont les fonctions sommables. Nous allons démontrer que pour ces fonctions g et 2 ont une même limite indépendante du choix des cette limite sera, par définition, l’intégrale de f(x) prise entre « et ,6.

Lorsque, entre les on introduit de nouveaux points de division, g ne décroît pas, 2 ne croît pas, donc g et 2 ont des limites. Elles sont égales, car 2 — g est au plus égal à (/3 — <x) multiplié par le maximum de (ai — «,• ,).

Soit maintenant un autre mode de division de la variation de f (x) à l’aide de points b{ et soient g' et 2' les valeurs correspondantes de g et 2. Soient g" et 2" les valeurs correspondant au mode de division dans lequel on emploie à la fois les a-i et />,• . Les deux séries d’inégalités

prouvent que les six sommes a, g\ g" , 2, 2', 2', ont la même limite.

L’existence de l’intégrale est donc démontrée. Si l'on adopte cette méthode d’exposition, d’ailleurs peu différente de la précédente, il n’est pas évident que la définition de l’intégrale telle que l’a donnée Rif.mann n’est jamais en désaccord avec la précédente. Pour le démontrer nous nous appuierons sur ce fait : Les points de discontinuité d’une fonction intégrable forment un ensemble de mesure nulle (*). — Soit / (a1) une fonction intégrable et soit E l’ensemble des points pour lesquels on a

a et b étant deux nombres quelconques. Les points limites de E qui ne font pas partie de E sont des points de discontinuité; ils forment donc un ensemble e de mesure nulle. E e étant fermé est mesurable, e est mesurable, donc E l’est. Cela suffit pour qu’on en conclut que f est sommable.

Si dans un intervalle de longueur /, le maximum de f est M et le minimum wj, l’intégrale (au sens que nous avons donné à ce mot) est comprise entre IM et / wj. De plus si a,, «„,... an sont des nombres croissants, on a:

Cl 2 (c ,| Cl ii

«1 (l-i Cln-x «i

(les intégrales ayant le sens que nous avons adopté).

(*) Riemann énonce cette propriété de la façon suivante: Pour qu’une fonction soit intégrable il faut que « la somme totale des intervalles, pour lesquels les oscillations sont plus grandes que <j, quel que soit <r, puisse être rendue infiniment petite ».

De là résulte que l’intégrale d’une fonction sommable est comprise entre les intégrales par défaut et par excès, et en particulier que les deux définitions de l’intégrale concordent lorsqu’elles sont toutes deux applicables.

21. L’intégrale prise entre les limites a et b n’a été définie que si a est inférieur à b , nous compléterons la définition par l’identité

j f(x ) cl x + ! f {x) d x = 0.

De là résulte que l’on a :

ne ii

j f[x) d x + | f(x) d x -1 - \-jf(x)dx=jf(x) d

et cela quels que soient a, b . . . I.

Nous aurons aussi besoin de la notion d’intégrale d’une fonction f définie seulement pour les points d’un ensemble E (*). Soit un segment A B contenant E , définissons une fonction <j> comme égale à f pour les points de E et à 0 pour les points de CAh(E). L’intégrale de f prise dans E est, par définition, l’intégrale de ÿ prise dans A B. Il est évident que l’intégrale de f ainsi définie ne dépend pas du choix du segment d B contenant E.

Si E est somme de Et , E,..., tous ces ensembles étant mesurables et sans point commun deux à deux, et si la fonction f est sommable dans E , on a :

J f(x) dx = f(x) d x.

E Et

Remarquons encore que l’on peut définir l’intégrale inférieure d’une fonction f comme la limite supérieure des intégrales des fonctions f sommables non supérieures à /; il existe une de ces fonctions f dont l’intégrale est égale à l’intégrale inférieure de f. On énoncerait une propriété analogue pour l’intégrale supérieure.

22. Nous allons maintenant montrer que les opérations arithmétiques élémentaires appliquées à des fonctions sommables donnent des fonctions sommables.

{*) On aurait pu d’abord définir les fonctions spmmables dans E, puis leurs intégrales à l’aide des mômes définitions que précédemment, à condition de faire abstraction de tous les points qui n’appartiennent, pas à E.

Lebe s g il e :

Soient f et çp deux fonctions sommables qui restent comprises entre m et M. Partageons l’intervalle (m, M j ; soient les points de division

m0 — m < wi, <C m* . . . < mn = M.

Soit Ci (i— 1 , 2... w) l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles on a: mi-t <C m,-, soit «?',• l’ensemble correspondant pour ç.

Soit l’ensemble des points communs à e,- et e'j , pour les points de cet ensemble on a :

»«* 1 + Mîj-i < /’-l- ? rrn + Wj ; ei , c'j, e# sont mesurables.

Soient « et i deux nombres donnés. Soit E l’ensemble somme de ceux des €{j dont tous les points sont compris entre a et b. E est mesurable.

Augmentons indéfiniment le nombre des »/,■ de façon que le maximum de m,- — m\- , tende vers zéro. Nous aurons une suite infinie d’ensembles E dont la somme, qui est mesurable, est l’ensemble de valeurs de x pour lesquelles on a :

donc /'-{-<] s est sommable.

L’intégrale de f est la somme des intégrales de f prises dans les ensembles Cÿ-, donc on a :

m ( eij ) mi- , < J f(x) d x < 2 m ( e ij) m; .

De même

Et, en raisonnant de même pour la fonction /’+çp,

I m (eh) -f inj-,) < j (f + *) d x < 2 m (e0) {m; -f mj).

De là résulte que :

— \fdx — \ydx <L« (e0) (m,- 4- mj — m,-.., — Wj , )

donc

\{f 4 '±)dx =^fdx-\-\ydx(*).

(*) L’introduction des notions d’intégrales inférieure et extérieure aurait permis de se borner à la 2ème partie du raisonnement, précédent.

Cette propriété se généralise immédiatement, de sorte que: la somme d’un nombre quelconque de fonctions sommables est une fonction sommable et l’intégrale est la somme des intégrales.

On démontrera de même que le produit de deux fonctions sommables est une fonction sommable ; que l’inverse d’une fonction sommable f vérifiant V inégalité

est une fonction sommable; que la racine mi,'",e arithmétique d’une fonction f sommable , pour laquelle cette racine existe , est sommable ; que si f et y sont deux fonctions sommables , telles que f( cp) ait un sens , la fonction f (f) est sommable; de même f f est sommable si f et y le sont , etc.

Une proposition plus importante est la suivante : Si une fonction f bornée est la limite d’une suite de fonctions f sommables, f est sommable.

En effet soit et l’ensemble des valeurs pour lesquelles f-t est comprise entre a et b. L’ensemble e des points communs à tous les e-t , au moins à partir d’une certaine valeur de i, est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f est comprise entre a et b. Or les e( étant mesurables e l’est, donc f est sommable.

23. Les propositions que nous venons d’obtenir permettent de définir une classe importante de fonctions sommables.

Nous nous appuierons sur ce fait que y — h et g = x sont des fonctions sommables; alors k xm est sommable et tout polynôme est sommable.

Depuis Weierstrass on sait que toute fonction continue est la limite d’une suite de polynômes, donc les fonctions continues sont sommables. Mais il existe des fonctions autres que les fonctions continues qui sont limites de polynômes, ce sont les fonctions qu;a étudiées M.r Baire et qu’il a appelées fonctions de première classe. ( Sur les fonctions de variables réelles , Annali di Matematica, 1899.) Les fonctions de première classe sont donc sommables. Les limites de fonctions de première classe ou fonctions de seconde classe sont sommables, etc. Toutes les fonctions de l’ensemble que M.r Baire désigne par E (page 70, loc. cit.) sont sommables.

Ces résultats nous fournissent de nombreux exemples de fonctions sommables, discontinues et non intégrables (au sens de Riemann). On peut d’ailleurs obtenir de tels exemples de la façon suivante. — Le raisonnement qui nous a permis au paragraphe 20 de démontrer que toute fonction intégrable est sommable prouve que : Si, en faisant abstraction d’un ensemble de mesure

Lebesgue:

nulle, il reste un ensemble en chaque point duquel une fonction est continue, cette fonction est sommable. Donc si f et y sont deux fonctions continues, la fonction F, définie comme égale à f sauf aux points d’un ensemble E de mesure nulle, pour lesquels on a

est sommable. Or si © n’est jamais nulle et si E est dense dans tout intervalle, tous les points sont points de discontinuité pour F qui n’est donc pas intégrable (au sens de Riemann).

Ce procédé nous permet de construire des fonctions sommables formant un ensemble dont la puissance est égale à celle de l’ensemble des fonctions.

24. La méthode géométrique qui nous a servie au début de ce chapitre, étant basée sur la notion de mesure d’un ensemble borné, ne s’appliquait qu’aux fonctions bornées (*). Au contraire la méthode analytique indiquée au § 20 s’applique presque sans modification à des fonctions non limitées supérieurement en valeur absolue.

Une fonction sera dite sommable si, quels que soient a et b , l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles on a

est mesurable. Nous distinguerons les fonctions sommables bornées, celles dont nous nous sommes occupés, jusqu’à présent, et les fonctions sommables non bornées.

Soit f(x) une fonction sommable. Choisissons des nombres

variant depuis — <x> jusqu’à -foc et tels que mt — soit limité supérieurement en valeur absolue. Soit toujours l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) égale et e ,• l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles

nii <f(x)< mi+l .

Considérons les deux sommes

o = S Mj . m (et) -j- 2 Mi • m (<?',)*, 2 = 2%. m (%■) -f- 1 mi+l m (e ,)

dans lesquelles les signes - représentent des sommes de deux séries l’une à

(•;) Il n’y aurait d’ailleurs aucune difficulté à poser le problème de la mesure des ensembles de points pour tous les ensembles, bornés ou non.

termes positifs, l’autre à termes négatifs. Ces séries peuvent être convergentes ou divergentes; si celles qui figurent dans 7 sont convergentes, c’est-à-dire si 7 a un sens, - a un sens et inversement; et il en est de même quels que soient les mt choisis.

En raisonnant comme au paragraphe 20 on verra que les deux sommes 7 et 2 tendent vers la môme limite, indépendante des m( choisis, quand on augmente le nombre des w, de façon que le maximum de tende vers

zéro. — Cette limite est l’intégrale.

Avec cette extension du sens des mots fonction sommable et intégrale , tous les énoncés donnés précédemment restent exacts (*j. Mais il faut se rappeler qu’une fonction sommable non bornée n’a pas nécessairement une intégrale (**).

25. Le calcul de l’intégrale d’une fonction donnée présente les mêmes difficultés que le calcul de la mesure d’un ensemble donné.

La plupart des fonctions discontinues que l’on a considérées jusqu’à présent en Analyse étaient définies à l’aide de séries, il y a donc intérêt à connaitre le théorème suivant.

Si une suite de fonctions sommables, ayant des intégrales ft, f, f3... a une limite f et si | f — fn \ reste , quel que soit n , inférieure à un nombre fixe M, fa une intégrale qui tst la limite des intégrales des fonctions /«(***).

En effet on a:

Les deux fonctions du second membre ayant des intégrales il en est de même de f et l’intégrale de f est la somme des intégrales de /», et f — fn • Cherchons une limite supérieure de cette seconde intégrale.

Choisissons arbitrairement un nombre positif 2. Soit en l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles on n’a pas, pour toute valeur positive ou nulle

(*) Le premier des énoncés du § 22 demande cependant quelques explications. Si f et « sont sommables f +• <? l’est et l’on a bien / (y -f- ») — f f j- / © si / f et J’tp ont un sens ; mais / (f+ ?) peut avoir un sens sans qu’il en soit de môme de / f et de / cp.

(**) Il resterait à examiner le cas où f devient infinie pour certaines valeurs de jc. Si ces valeurs sont en nombre fini il suffît de définir l’intégrale en faisant abstraction des valeurs qui rendent f infinie, pour que les énoncés ordinaires ne soient pas changés.

(***) Le cas particulier le plus intéressant de ce théorème, celui où /' et les /; sont des fonctions continues, a déjà été obtenu, à l’aide de considérations toutes différentes par M.1' Osgood dans son Mémoire sur la convergence non uniforme ( American Journal , 1894).

Lebes (jue :

de p

cn est mesurable.

Soit E l’ensemble mesurable dans lequel on prend les intégrales, on a:

Or chaque ensemble en contient tous les ensembles dont les indices sont plus grands et il n’existe aucun point commun à la fois à tous les cn. Donc

m (en) tend vers zéro avec 1 et par suite il en de même de

Lorsque /' est bornée la proposition peut s’énoncer ainsi : Lorsqu’une suite de fonctions sommables, limitées supérieurement en valeur ab¬

solue dans leur ensemble, a une limite f l’intégrale de f est la limite des intégrales des fonctions fn.

Voici une autre forme de l’énoncé relatif au cas général :

Lorsque l'ensemble des restes d’une série convergente de fonctions ayant des intégrales est limité supérieurement en valeur absolue , la série est intégrable terme à terme.

Comme cas très particulier on a le théorème sur 1 intégration des séries uniformément convergentes.