M = AB-^G(A — B)=A(B — A) + C(A— B

ce qui démontre la propriété énoncée.

Par analogie, si un segment représente une force appliquée à un corps rigide, un bivecteur pourra représenter un couple.

13. Trivecteurs. — On appelle trivecteur, le produit de trois vecteurs.

Si I, J, K sont des vecteurs et P un point; en vertu de l'égalité PIJK = P(P4-I)(P+J)(P4-K), on voit que PIJK est le tétraèdre, dont les sommets sont les points P, P -f- I, Ph-J, P + K. Si Q est un point, on a toujours PIJK== QIJK, c'est-à-dire que le nombre PIJK n'est pas une fonction de P, mais seulement, du trivecteur IJK et nous appellerons sens du trivecteur IJK le sens du tétraèdre PIJK.

Soient a un trivecteur, I et J deux vecteurs non nuls et tels que IJ ^^o; les vecteurs K, tels que a = IJK, sont toujours déterminés; la détermination de K dépend du problème de Géométrie élémentaire suivant : Transformer un tétraèdre en an autre tétraèdre équivalent.

La somme du triangle non nul ABC avec le triangle a est un triangle que l'on déduit de ABC par une translation. Soit, en effet, K un vecteur, tel que

K(B — A)(G-A) =a; alors on aura

ABG -T- a = A(B - A) (G - A) -h K(B - A) (G - A)

qui démontre le théorème. La translation K n'est point déter-

l8 CHAPITRE I.

minée; mais, en revanche, le plan sur lequel est situé le triangle ABC -h a est complètement déterminé.

Si a, (3 sont deux trivecteurs, tels que a^o, le nombre ~

est indépendant du point P. Nous poserons donc, quel que

soit le point P, - = f^f et il est clair que ^ est précisément a r a a

le nombre œ, tel que (3 =- xoc. Ainsi donc, si a est un trivec-

teur non nul, le trivecteur (3, quel qu'il soit, est un multiple

de a. Il en résulte encore que la somme de deux trivecteurs

est un trivecteur.

On peut toujours représenter, à l'exception du sens, le trivecteur IJK par les trois vecteurs I, J, K de même origine 0 et le parallélépipède, dont quatre sommets sont précisément les points 0, 0 + 1, 0 + J, 0 -H K. Le volume de ce parallélépipède, d'ailleurs affecté d'un signe (le signe du nombre OIJK), est appelé grandeur de IJK (grIJK); ce qui revient à poser, quel que soit le point 0, grIJKr=60IJK. Nous pouvons alors supprimer, sans ambiguïté possible, le signe gr et donner au signe IJK la double signification de trivecteur et de nombre.

Nous appelons trivecteur unité et l'indiquons toujours avec la lettre w un trivecteur tel que, quel que soit le point 0, le nombre Og.) = i. Si w est considéré comme un nombre, oj = 6.

44. Rotation. — Nous allons maintenant considérer un plan dont trois points A, B, C, tels que ABC^o, soient fixés.

Soient 0, 0' deux points quelconques du plan ABC : on peut toujours déterminer trois points P, Q, U du plan ABC, tels que les points 0, 0' soient intérieurs au triangle dont

les sommets sont P, Q,R, et tels, en outre, que -^ - soit un

nombre positif.

Soit alors a une droite du plan donné, qui passe par le point 0, et a' une droite du même plan qui passe par le point 0'; les droites a, a' rencontrent respectivement le périmètre du triangle PQR en deux points. M, N et M', N'. Si

nous faisons parcourir au point M le périmètre du triangle PQR, dans le sens, par exemple, P, Q, R {voir n*» 5, p. 7), le point N parcourt simultanément le périmètre du triangle dans le même sens, et la droite a ainsi que chacun de ses points tournent, sur le plan, autour du point 0. Nous dirons que les droites a, a' (ou chaque point de ces droites) tournent, respectivement, autour des points 0 et 0' dans le même sens, quand les points M, M' (ou N, N') parcourent le périmètre du triangle PQR dans le môme sens.

Soit PjQjRi un autre triangle du plan ARC qui jouisse des mêmes propriétés que le triangle PQR ; si M,, Ni, par exemple, sont les points de rencontre de la droite a avec le périmètre du triangle PiQiRi, et si le point M parcourt le périmètre du triangle PQl\ dans le sens P, Q, R, le point Mi parcourra le périmètre du triangle PiQiRi dans le sens Pi, Qi, Rj. Donc, ie sens de la rotation d'une droite (ou d'un point) autour d'un point fixe du plan ABC est un élément géométrique abstrait qui est fonction du triangle ABC fixé dans le plan.

Nous pouvons fixer le sens positif ou le sens négatif de la rotation sur le plan ABC en disant que la droite a tourne autour du point 0 dans le sens positif {ou négatif) quand le point M. parcourt le périmètre du triangle PQR dans le sens P, Q, R {ou P, R, Q). Supposons maintenant qu'un observateur soit placé sur la région des points S tels que SARC corresponde à un nombre négatif; alors, si la droite a tourne dans le sens positif, Tobservateur la verra tourner dans le sens inverse des aiguilles d'une horloge dont il regarderait le cadran.

14 bis. Soient I un vecteur non nul du plan ARC et 9 un nombre différent de zéro : nous dirons que J est égal au vecteur I tourné de l'angle 9 lorsque : i*^ J est un vecteur; 2° mod J = modl ; 3° quel que soit le point 0 du plan ARC, la droite 01 peut aller coïncider avec la droite OJ en tournant dans le sens positif ou négatif, selon que 9 est positif ou négatif, le chemin parcouru par le point 0 + 1 ayant pour mesure la valeur absolue du nombre 9 modl.

Soit encore que I est égal au vecteur I tourné dUin angle

nuly et que un vecteur nul est égal au niême vecteur tourné d'un angle quelconque cp.

Soient I, J deux vecteurs non nuls du plan AB tels que modI:=modJ; il existe une infinité de nombres réels 9 tels que J soit égal au vecteur I tourné de l'angle 9. Parmi ces nombres, ceux qui sont positifs ont un minimum 91 et ceux qui sont négatifs ont un maximum 92. On a toujours 91 — 92 = 2 tt, et chaque nombre 9 est de la forme 91+2/17:, 92-1-2/17:, où n est un nombre entier quelconque, positif, négatif ou nul.

Nous appelons angle de I avec J et nous l'indiquons par la notation (I, J) le plus petit des nombres positifs ou nuls 9 tels que J soit égal au vecteur I tourné de l'angle 9. Il faut observer que, dans la notation (I, J), le sens positif de la rotation sur le plan ABC est sous-entendu, c'est-à-dire que le nombre (I, J) n'est pas seulement fonction des vecteurs 1 et J, mais aussi du sens positif choisi pour la rotation sur le plan.

Si (I, J)=:i, nous appellerons radiant l'angle (I,J); si

(I, J) — -, l'angle (I, J) sera dit angle droit et nous dirons

encore que le vecteur I est perpendiculaire au vecteur J, ou

réciproquement, dans les cas de (I, J) -r '-^ et (I, J) = - ^.

Si U, V sont vecteurs non nuls du plan ABC, appelons angle de U avec V et indiquons, avec la notation (U, V),

l'angle du vecteur • — ^^ avec le vecteur — p^; ce qui revient

à poser

On a et si

on aura

^^'^^~ VmodU' modV

modU modV