Si I est un vecteur non nul du plan, indiquons par il
le vecteur 1 tourné de l'angle droit positif-; posons aussi
/o=:o. Soient alors I et J deux vecteurs quelconques du plan et œ un nombre réel; au lieu des notations
qui ont actuellement une signification précise, nous emploierons simplement
Lxl, xl\^ j'I-hJ, liJ.
a. Si I = J, alors il = U,
b. Si /i est un nombre entier positif non nul, posons i^\ = 1, ««I = f(i"-il), en d'autres termes, indiquons par i"^! le vecteur que l'on déduit de I en lui appliquant n fois l'opération i. On a ainsi
ce qui montre que le signe i'^ a les mêmes propriétés que le symbole (y — i)".
c. On peut aisément démontrer les formules
ix\ = xi\^ /(I -+- J) = il 4- /J,
(a)(a) = ij, ia = ja,
Ii(J -f- K) = hJ + h'K, (I, J) = (H, ïJ).
La première exprime que Ton peut changer Tordre des deux opérations suivantes : multiplier par un nombre Qi faire tourner d'un angle droit, La deuxième nous montre que l'opération i a la propriété distributive par rapport à la somme.
d. La condition d'orthogonalité des. deux vecteurs I, J non nuls est IiJ = o.
16. Soit I un vecteur unité du plan : le module du bivecteur \i\ est i, et quel que soit le vecteur unité J, on a
Jfjizilfl, ce qui nous conduit à appeler I^I le bivecteur unité du plan.
a. Si u est un bivecteurduplan [voir n° 12 (d)], p. représente le nombre œ tel que u ^=œli\. Ce nombre œ est, bien entendu, positif ou négatif selon que les bivecteurs u et \i\ ont ou n'ont pas le même sens, et sa valeur absolue est mod u. Nous conviendrons d'indiquer par le signe Uy comme nous
l'avons déjà fait pour les trivecteurs, le nombre p^? c'està-dire que nous donnons au signe u la double signification de bivecteur et de nombre. Si le nombre u est positif et que le triangle Ou soit égal au triangle OAB, l'observateur parcourant le triangle de 0 en A et B verra l'aire du triangle à sa gauche.
b. Si U, V sont des vecteurs non nuls et que l'on supposéconnue la théorie des fonctions circulaires, on démontre fort aisément les formules
UV =modUmodVsin(U,V), U/V= modU modV cos(U, V),
d'où l'on déduit
sin(U,V) = — J?-^— TT7> cos(U,V)= ^'^
moa U mod V
UV
tang(U,V)= j^.
c. Quel que soit le vecteur U, on a donc
UiU = (modU)2; en convenant d'écrire U^ au lieu de UïU, on aura
U2= (m0dU)2, (U4-V)2 = U2H-2UtV-+- V2
et
d. Si U, V sont des vecteurs, le nombre U«V s'appelle
produit interne de U par V (^); ce produit interne jouit des propriétés commutative et distributive par rapport à la somme. Si modU = mod V=r i, alors \}i\ est le cosinus de l'angle (U, V). Si modU =: i, U^V donnera la grandeur et le sens du vecteur projection orthogonale du vecteur V sur U; c'est-à-dire que le vecteur (U«V)U est la projection orthoiîonale du vecteur V sur le vecteur U.
Exemples. — i*^^ Si Aj, A2, . . ., A,^ sont des points et que I soit un vecteur unité du plan, l'identité
Ii(A2 — AO + I/(A3-A2)H-...H-I/(A« — A„i) = Ii(A,,-Ai)
montre que la somme [algébrique) des projections des côtes d'une ligne brisée sur une droite est égale à la projection sur cette même droite de la droite limitée qui joint les extrémités de la ligne brisée (d).
2^ Si 1, J sont des vecteurs non nuls et de même module, l'identité (I -+- J) f(I— J) = P — J^ = o, exprime que /e5 èwsectrices de deux angles adjacents sont rectangulaires.
3^ Soient A, B, G les sommets d'un triangle du plan;
posons
on a
(1) I-^J + K = o, De la formule (i), on déduit
(4) I2=-J/I-Kn = (-l)iJ4-(-K)/I.
Divisant respectivement les équations (2) et (4) par
( ' ) Le lecteur doit fixer son attention sur l'importance du produit interne. Le produit interne, introduit par Grassraann comme une opération abstraite, est réduit ici au produit progressif de deux vecteurs au moyen de l'opération !..
mod I . mod J . mod K et par mod I, il vient
sin( — .T. K) sin(— K,I) sin ( — I, J ) modl "^ modJ ~ modK
(modI)2 = (modJ)2 + (modK)^ — amodJ modK cos( — J, K),
modl — modJ cos( — I, J) -i- niodKcos(— K, I;,
qui sont les formules mêmes de la Trigonométrie plane, connues généralement sous la forme
sin A sinB sinC abc
a^ — h^ -i- c'^ — 2^ccosA, rt = Z> cosC H- ccosB.
