Produits régressifs dans un plan projectif. — Nous

. allons maintenant considérer les formes du premier, du

deuxième et du troisième ordre dont les positions sont dans

un même plan projectif donné; chaque forme du troisième

ordre peut être identifiée à un nombre.

Nous poserons

(i) AB.PQ = APQ.B - BPQ.A,

(') Dans le cas où le produit AB est progressif, posit AB représente l'élément projectif (droit ou plan) détreminé par la condition qu'il doit contenir posit A et positB, c'est-à-dire que posit AB est l'élément projectif qui projette posit A, posit B étant le centre de projection, où est l'élément projectif qui projette positB, posit A étant le centre de projection. Si le produit AB était au contraire régressif, posit AB serait l'élément projectif (point ou droite) déterminé par la condition d'être continu en posit A et en positB. En un mot, le produit progressif représente l'élément projetant et le produit régressif l'élément projection.

et appellerons AB.PQ \e produit régressif, ou simplement le produit de AB par PQ, en supposant que A, B, P et Q soient des formes du premier ordre. En comparant l'identité du théorème II (n°24) à cette définition on peut écrire

(2) AB.PQ = ABQ.P — ABP.Q.

a. Si l'on a A'B' = AB etP'Q'=PQ, il résulte que