AB.P'Q'= AB.PQ, A'B'.PQ = AB.PQ

Ainsi, le produit AB.PQ est une fonction des formes AB, PQ, et, si l'on pose a == AB, b — ]?Q, le produit régressif de a par b se trouve défini. Ces produits ont encore toutes les propriétés des produits algébriques, la propriété commutative exceptée; soit

ah = — ba, a{b -\- c) = ab -h ne

et

x{ab) — {xa)b = a{xb),

si œ est un nombre.

b. Par les formules (i) et (2), on déduit que (a^)a = o, (ab)b=zOf c'est-à-dire que ab est une forme du premier ordre appartenant aux formes a et b, tandis que le point ab est le point projectif d'intersection des droites a et b dans le cas où ab^o; on en déduit encore que deux droites projectives complanaires ont toujours, au moins, un point commun. Lorsqu'on aura a^o avec b:p6o, ab sera nul quand droita = droite et réciproquement.

c. Si w, V sont des bivecteurs, le produit progressif de n par p est toujours nul ; mais, si l'on considère w, v comme des formes du deuxième ordre ayant leurs positions dans le plan à l'infini, le produit régressif de a par ç est un vecteur et positMP est un point à l'infini commun aux positions des bivecteurs M, (^ (*) droites à l'infini, dans le cas où iw^o,

(^') La condition de parallélisme de deux plans a et [3, indiquée au 4* exemple du n° 26, reste toujours aw.Jâo) = o, lorsque aw.^w est un produit régressif sur le plan de l'infini {voir b).

LES FORMES GÉOMÉTRIQUES. 5l

30. Soient /', s des nombres entiers positifs inférieurs à 3 et A,., A^., A,., A^ des formes d'ordres /*, s; des produits progressifs et régressifs dans le plan résultent les propriétés générales suivantes :

i*^'" Si r-i-s^3 le produit de A,, par A^ est progressif et ArAs est une forme d'ordre r -+- s;

2« Si r -h 5 > 3 (ou /• -h 5 = 4 ) le produit de A,, par Ag est régressif, et A,. A^ est une forme d'ordre r h- 5 — 3.

3« Si A,. = A^. avec A^ = A',, on a A^ A^ = A;. A^ ;

5« A,.(A, + A's) = A,.A, -f- A,. Ai;

6^ Si ^ est un nombre, a^{ArAs)=^{a:A,.)As=^Ar{ooAs).

On peut écrire aussi pour les produits de trois facteurs dans le plan

(i) AB.G = A.BC, (i)' ah.c=a.bc,

(2) AB.a=A«.B — B«.A, (2)' ab.A = aA.O — bk.a^

qui donnent, sur le plan, le principe de dualité pour les formes géométriques et les éléments projectifs du plan.