Théorème I. — Étant données des formes du premier
ordre Ai, A2, A3, A4 telles que AiA2A3A4^o, et des formes quelconques S, 5, o-, respectivement des premier, deuxième et troisième ordre, les nombres œ^ . . . , ^4, fiy . . . , y^^ ^,, . . ., z^ tels que
(i) Si = ^iAi-hX2A2 + ^3A3+ :r4A4,
(2) s =JlAiA2-{-j2AiA3+j3AiA4-i-jr4A2A3-|-j5A3A4-t-j6A4A2,
(3) Cr = 21 A2A3A4-i-22A3A4Ai-i-53A4Ai A2+ 34 Al A2 A3 5,
sont bien déterminés.
Dém. — L'identité du théorème 1 du n° 24 donne
A1A2A3A4.S + A2A3A4S.A1 + . . .-+-SAiA2A3.A4= o;
il suffit de diviser par Ai A2 A3 A4, pour avoir la formule (i),
avec
A2A3A4S A^AiSA,
■^1 == — "Â — Â — Â — Â~^ Xi = — - — - — — r— j J73 — . . . .
Si maintenant s est le produit de deux formes du premier ordre S, S^
^ = SS'=(^,A,-i-...)(^'iA, + ...),
ce qui donne une formule analogue à la formule (2) en développant le produit du second membre : en général, s, considéré comme somme de deux produits de formes du premier ordre, est réductible à la forme (2). De même, a, considéré comme produit de trois formes du premier ordre, est réductible à la forme (3). Il suffit, à présent, de démontrer que les nombres/, z sont déterminés d'une manière univoque. Considérons, à cet effet,
s =j;AiA2-f-jr'2 AiAa-f-...;
d'où
(Ji - Ji ) Al A2-4- (j2 — Js ) A1A3 + . . . = o,
et multiplions par A3 A4, A2 A4, . . .; il vient successivement
Jl=/l, J2=72>
Les nombres ^, y, z sont respectivement appelés coordonnées des formes S, s, a pour les éléments de référence Ai, A2,
Théorème IL — Si Ai, A2, A3 sont de formes du premier ordre, telles que Ai A2 A3 ^ o, et S, s des formes quelconques du premier et du deuxième ordre complanaires avec Aj, A2, A3, les nombres Xy, œ^, jCg, ji, y^, jg, tels que
S = Xi Al -{- .ro A2 + j:^3 A3 , a =JiA2A3 + j2A3Ai+73AiA2, sont bien déterminés.
De même :
Théorème III. — Si Aj, A2 sont des formes du premier ordre avec Al A2^o, quelle que soit la forme S du prem,ier ordre collinéaire avec Ai et A2 les nombres œ^y œ^y tels que
S = XiAi-i-XiA^,
sont bien déterminés (^).
a. Si
S = ariAi + . . .-hx4A4, S'= x'i Ai + . . . + X4A4,
on aura
S + S'= (.ri -h Xi)Ai -H. . .+ (.r4-hX4) A4;
et pour un nombre m
mS = (m^i) AiH-. . .-h (m.r4) A4,
formules qui déterminent les coordonnées des formes S -t- S' et /nS.
On aurait des résultats analogues pour les formes s -\- s',
( ' ) On appelle système linéaire un ensemble d'éléments pour lesquels sont définis la somme ainsi que le produit par un nombre, ces opérations ayant les propriétés ordinaires (Algèbre). Nous dirons que les éléments «,, u^, ..., «„ d'un système linéaire sont indépendanis quand il est impossible de déterminer des nombres m^, m^, ..., m^ non tous nuls, tels que
mj Mj + m^ «j + . . . + m^ u^^ = o.
Un système linéaire est dit à n dimensions, quand il existe n éléments «j, "2' • • • > "n du système qui soient indépendants et « + i éléments du système sont toujours dépendants : si u est alors un élément quelconque du système, les nombres m^, m^, ..., m^, tels que u = m^u^-h fn^u^-t- . . .-ir m^u^ sont bien déterminés.
Les théorèmes précédents expriment donc que les formes du premier {et troisième) ordre de l'espace sont les éléments d'un système linéaire à quatre dimensions, et que les formes du deuxième ordre de l'espace sont les éléments d'un système linéaire à six dimensions; de même, les formes du premier {et deuxième) ordre d^un plan projectif sont les éléments d'un système linéaire à trois dimensions, etc.
Pour les autres systèmes linéaires de formes géométriques, "voir G. Burali- FoRTi, // metodo del Grassmann nella Geometria proiettiva, 1. c.
ms' , (7-f-a-', ma. On peut encore aisément obtenir les coordonnées du produit progressif ou régressif de deux formes.
b. Si
Si = .TiiAi-f- .ri2A2 4- J7i3A3-î-.r,4A4,
S2 = ^21 Al -h ^22 A2 -h ^23 A3 + ^24 A4, 83=^31 Al + J:32A2H-^33A3H--r34A4, S4 = ^41 A] H- J742 A2 -h X43 A3 -f- J:44 A4,
où Al, ..., A4 sont des formes du premier ou troisième ordre et les X des nombres, alors on a
Si S2S3 S4 =
En effet, un terme du produit Si Sa S3 S4 est
Xii.r22^33-^44AiA2A3A4,
et Ton peut obtenir tous les termes en permutant les seconds indices des ^11^,2^13^14 en donnant au terme ainsi obtenu le signe h- ou le signe —, selon que le nombre des inversions d'indices consécutifs est ou non un nombre pair; et cette loi n'est autre que la loi de formation des termes du déterminant de la formule (i) (^).
En voici un exemple : Soient A, B, C les sommets d'un triangle; A', B', C les points de rencontre, avec les côtés opposés, des bissectrices internes des angles A, B, C; posons ar=nmodBC, ^ = modCA, c= modAB. Dans ces conditions, le point A' est la position du produit régressif
/GA AB\ \b c )^
b cl b c '
(') Pour la théorie des de'terminants déduite des opérations de Grassmann, voir E. Garvallo, Théorie des déterminants {Nouu. Ann.; iSgS).
la masse de cette forme est
ABC ABC ,r.nb-^c
— 7— H ^^ AdL. — j ?
oc oc
et, par conséquent,
on a, de même,
c -h rt
et, par conséquent,
