ABC

qui fournit l'aire du triangle A'B'C en fonction des nombres a, b, c et de l'aire du triangle ABC.

32. Prenons actuellement pour éléments de référence un point 0 et trois vecteurs unités non complanaires I, J, K; si S est une forme du premier ordre, on aura

S = mO-h.rI-hjJ-+-^K;

et, puisque Sw = m, on voit que m est la masse de la forme S; on aura donc, pour un point quelconque P,

P = 04-.rI-h7J4-5K,

(' ) Par cette formule, on déduit que la bissectrice interne de l'angle A décompose le côté opposé en parties proportionnelles aux côtés AB, AC. Réciproquement, cette propriété donne la formule

et les nombres x^ /, z sont les coordonnées cartésiennes du point P, en prenant pour origine le point 0, et pour axes les droites 01, OJ, OK; de même, si U est un vecteur, on aura, comme nous l'avons déjà vu,

U^xI+jJ + sK.

Dans ce qui va suivre, nous conviendrons que les vecteurs I, J, K sont deux à deux perpendiculaires, et que le trivecteur IJK est positif, ce qui revient, en d'autres termes, à supposer que les vecteurs I, J, K satisfont aux conditions

J|K = o, K|I = o, I|J = o, 1=1 JK, J = |K1, K = IIJ.

Les propriétés que nous allons énoncer prouvent comment la Géométrie analytique cartésienne peut se déduire bien aisément de la théorie générale des formes (^).

a. Si U = :rI-f-yI + 5K, on a IP^^^M-yM- ^S et le module du vecteur U est le nombre yZ-^^H- j^H- z^- ,

b. Si U = x\ +/J H- -sK, on a U 1 1 = ^, et, par suite,

cos(U, I) = — =^=, cos(U,J)- ^

En un mot, les coordonnées du vecteur U sont proportionnelles au cosinus des angles que fait U avec I, J, K, et

cos2(U, 1) -f- cosHU, J) 4- cos2(U, K) = i.

c. Si U=:^lH-7J + ;sK, U'=^'1-+-/J4-^'K, la condition de parallélisme de U avec U' est

UU'=o

(') On peut, pour les autres systèmes de coordonne'es, consulter: C. Burali- FoRTl, Il metodo del Grassmann nelLa Geometria proiettiva {loc. cit.)) mais il est bon d'observer que, dans le développement de la méthode de Grassmann, les coordonnées choisies n'ont aucune importance, et que les théorèmes du n° 31 ou bien du n" 24 sont seuls nécessaires.

OU

JK +

Kl -h

IJ = o,

ou bien encore

jr z

que nous convenons d'écrire sous la forme

La condition d'orlhogonalité est U|U'=o, qui s'écrit maintenant

xx' H- y-y -h zz' — o.

d. Soit II un bivecteur,

M = xJK 4-jKI-h 2lJ et I M = .ri -f-jj -i-sK,

ce qui ramène les propriétés des coordonnées d'un bivecteur à celles d'un vecteur.