Si

P = 0-hxl-i-jJ-f-5K et P'=0-hx'I-hyj-h2'K,

on a

modPP'=mod(P — P')

= mod[(:r - x'){ + (j — j')J -<- (^ - -')K]

expression qui fournit la distance des points P et P'. f. Les points

P=:0-l-.rI+/I + ;sK et P'=0-+-.r'I-^/J + :;'K

sont situés sur la droite ty parallèle au vecteur P =/?l+^J-i-/K,

quand les vecteurs U, P — P' sont parallèles, c'est-à-dire lorsqu'on a

P ~ T~ " ^ qui n'est autre que l'équation de la droite t, g. Si a est un triangle, on a

a = aOJK + ^OKI + cOlJ - ^IJK,

et le point P = 04-^l4-yJ+^K appartient au plan a

quand

Pa = — {ax-\-bx-^cz -Ho?)OIJK = o

ou bien encore quand

ax -\- hy -\- cz -^- d = o,

qui est précisément l'équation du plan a.

Avec aco = aJK -f- blL\ + cIJ et | (aco) = «I -h è J + cK, on voit que les nombres «, 6, c sont proportionnels aux cosinus des angles que fait avec les axes la normale au plan a.

Étant

moda = - mod(acD) = - mod

(aïo) = -/a2^^-2 4 c2.

le nombre

3Pa ax -\- hf ~{- cz -\- d moda ~" '^^-^ b^ HH c^

est la distance, avec un signe, du point P au plan a. h. Si a est une forme du deuxième ordre, on a a = pOl + ^OJ + rOK + p'iK + ^'KI -h r'U, et son invariant est nul lorsque

(l) pp'-i-qq'-^rr'=o.

Les nombres />, q, /*, /?', ^', r', liés par la relation (i), sont alors les coordonnées de la droite a, coordonnées auxquelles il est aisé de donner une signification géométrique, en ob-

servant que

aui = pl-h qi -^ rK, ] (Oa)to = p'I -+- q'] -+- p'K.

Si o, ai sont deux formes de deuxième ordre, telles que

aa = o, «i«i=o, «to.«to^o,

alors (n° 26, 5« exemple) la plus courte distance entre les points de la droite a et ceux de la droite a^ est donnée par la formule

mod{pp\ -+- qq\ H- rr\-\-pxp'^ gi g' -h ri r')

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