SURFACES RÉGLÉES

43. Surfaces réglées en général. — Soit a{t) une forme non nulle du deuxième ordre à invariant nul, définie, ainsi que ses dérivées d'ordre quelconque, dans un intervalle donné.

On appellera surface réglée a ou simplement surface a, l'ensemble des points projectifs situés sur la droite a{t), lorsque t varie dans l'intervalle considéré : en particulier les droites a{t) sont dites génératrices de la surface a.

Si P(^), Q(^) sont des formes du premier ordre, telles que PQ^o, P«~Qa — o, pour chaque valeur de ^, le point Ph-mQ décrit la droite a, quand u varie de — oo à +oo. Par suite, chaque point de la surface peut être considéré

comme fonction de deux variables, ce qui justifie la dénomination employée de surface {voir Note I); nous n'avons d'ailleurs pas besoin de considérer les points de la surface a comme fonctions de deux variables, et nous pourrons développer la théorie des surfaces réglées indépendamment de la théorie générale des surfaces quelconques.

Puisque a est, par hypothèse, une forme du deuxième ordre à invariant nul, on a, pour chaque valeur de t,

(1) aa = o,

formule qui, par dérivation, donne aa' -\- a' a =: o ; mais aa'=:a'a, donc 2rta' = o ou

(2) aa' = o,

quel que soit t.

Si, d'ailleurs, m est un nombre entier supérieur à l'unité,

(aaY'"^ = rm(/n) + ( '^ U'a('«-i-' + ...+ / "M a^m-i^ a' -i- a^"'^a; c'e^t-à-dire que

(3) ««(/«) =V /lr,sa^'^(l^'\

OÙ /•, S sont des nombres entiers positifs tels que r 4-5 = t?? et r<5, tandis que les h,.^s sont des nombres entiers fonctions de r et de s.

Nous ferons un fréquent usage des formules (i), (2), (3).

44. Soient, par exemple, r, r^ des génératrices de la surface «, R un point projectif de r, et supposons que le plan qui contient R et r^ a pour limite, lorsque r^ varie en restant sur la surface a pour tendre vers r, un plan bien déterminé; ce plan sera dit pian tangent (^) à la surface réglée a, au point R,

(«) Si R est un point à distance finie, la définition que nous venons do donner est une conséquence logique de celle du plan tangent à une surface en général, que nous donnerons dans la Note II.

On appelle normale à la surface a au point R la perpendiculaire issue de R au plan tangent en ce point.

Théorème I. — Si en un point S d'une ligne tracée sur la surface réglée a, la tangente s à la courbe et le plan tangent G à la surface a sont bien déterminés^ la droite s est contenue sur le plan a.

Déni, — Soient Sj un point de la ligne et r, la génératrice de la surface a qui passe en S^, la droite qui joint S et Si est entièrement contenue dans le plan déterminé par S et ri, ce qui prouve que, à la limite, s est contenu dans o-.

Théorème II. — Si pour une valeur déterminée de t, P est une forme non nulle du premier ordre ayant pour position un point de la droite a, {Va = o), et si m est le plus petit des nombres entiers non nuls x tels que Pa^^^^o, le plan tangent au point P de la surface réglée a est précisément le plan Pa('«^

Dém. — Posons a^r=a{t ^h)^ et appliquons le théorème de Taylor

li'n—X II ni

«1 = a + //a'H- . . . -+- TT «^'"-^' H r {^^^"'^ + '^l)^

où q est une forme du deuxième ordre, telle que lim ^ = o ;

d'ailleurs, par hypothèse, Pa^^^=o pour ^ = 1,2, . . ., m — i, donc

Mais

posit Prti = posit (P«('«^ + P^),

d'où

lim posit Vai = posit P«^'"^

égalité qui démontre le théorème, puisque le plan tangent au point P n'est autre que la position limite du plan P<2i.

Théorème III. — En conservant les hypothèses du théorème II j on voit que le plan tangent au point P renferme la

FORMES VARIABLES. gS

droite a {c'est-à-dire quil contient la génératrice qui passe au point P).

Dém. — En développant le produit régressif Pa^'"^ a, on a

P «('«) .a= — Va. «('«) H- «('«^ a.V = aa^"^^ . P,

mais la formule (3) du n° 43 prouve que a<2^'"^P est la somme des produits de la forme a^''^ a^'KV ■= a^^'^V.a'^'^ -\-a^'^V,a^''^ ; donc, étant r <, m, s <i my on aura

Fn^r)—Pa^s)—o, d'où ?a^"^Ka = o,

ce qui démontre le théorème.

45. Pour les théorèmes que nous allons énoncer, désormais les conventions suivantes resteront toujours sous-entendues. Les formes non nulles du premier ordre P, Q, R, S ont leurs positions sur la droite «(P<2=: Qa = Ra = Sa = o). En disant que le plan tangent au point P de la surface réglée est le plan V a^'"-\ nous entendons qu'il existe des nombres entiers positifs X tels que Va^^^i-^ o, m étant le plus petit de ces nombres. Quand nous disons enfin que le plan tangent au point P est indéterminé^ nous supposons, en d'autres termes, que, quel que soit le nombre entier positif x^ on a Pa^^)=r o.

Théorème I. — Si au point P le plan tangent est Pa^'"), une et une seule des propriétés suivantes sera toujours vérifiée :

a. En tout point R distinct de P, le plan tangent est R<2^") avec n <,m, et ce plan, ainsi que le nombre n, revient fixe lorsque le point R varie sur la droite a.

b. En tout point R distinct de P, le plan tangent est Ra^'"^ qui coïncide avec le plan Pa^'"^, excepté pour un point S oit le plan tangent sera, soit le plan Sa^^^ avec n > m^ soit indéterminé.

C. En tout point R, le plan tangent est le plan Ra^"'^ et en deux points distincts de la droite a, les plans tangents sont différents.

Dém. — Soit, en effet, Q un point quelconque distinct de P sur la droite a; au point Q, le plan tangent est le plan Q«("^ avec n = m. ou bien encore se trouve indéterminé. Ces différents cas entraînent les propositions a, b, c, comme nous allons le montrer.

Quel que soit R, nous avons

(l) R = a:P4-jQ,

ou .r, /sont des nombres réels; si donc le plan Qa^"^^ (/i<m) est tangent au point Q, sachant que ?«(«)=: o, la formule ( i ) nous donne Ra(") = /Qa'"- ; si RP ^ o, on a r^o et R.7^«^^o, c'est-à-dire que n est précisément le plus petit des nombres entiers positifs^ tels que Ra^^^^o, ou bien encore? que le plan Pa^") est tangent au point R. Mais, en vertu de l'égalité Ra^"^ = 7Qa("^, ce plan est identique à Qa'-'^\ ce qui achève d'établir la propriété a.

La première partie de la propriété b résulte du fait que si le planQa(">(/i>m) est tangent en Q, on a Ra('") = j^PaC"), formule qui subsiste encore si le plan tangent au point Q est indéterminé.

Si le plan tangent en Q est Qa^"^\ on a

R«('«) = xPa('«) H- jQa

DeplanP«^'">3r:planQa^'"),onpeutdéduireQa^''"^=APrt'f'"), où h est un nombre réel non nul et la formule (2) devient

Rtz('«)=(jc+/ijK)Pa('"); quand - ^ — A, planRa^'^^^planPa^"') est le plan tangent au point R, tandis que si -= — /<, au point

S = point (Q — /iP) le plan tangent sera Sa('"> avec n > /?«, ou bien est indéterminé : on complète ainsi la propriété b. Si plan P«('">^plan Q«('"), la forme Ra^'"' ne peut être nulle et R(2('"^ est plan tangent en R; les plans tangents en deux points distincts R et S ne sauraient d'ailleurs coïncider, car si

S = .riP4-j-,Q,

Ra('«^Sa('«^ =

^i II

Pa^"^KQa

et, par suite, il faudrait avoir

^1 Jl

ou P«('«^Qa^'«^= o,

ce qui établit, finalement, la propriété c.

Théorème II. — Se en chaque point P, sauf un, au plus, de la droite a, Va^"^^ est le plan tangent, a^'^^a^'^^=zoest la condition nécessaire et suffisante pour que les plans tangents en deux points distincts coïncident.

Déni. — On a, en effet, en développant le produit régressif

Qa('«^R«('«)= (Q.R«('«0«^'"^+ (Rrt^'^^^^'^OQ; mais

car le plan Ra^'") contient (n°44, théorème III) la droite a et par suite le point Q; alors

(i) 0«('«^Rrt(^«)= (Ra('''^a('«OQ.

Le produit régressif Ra^'").a('"^ fournit encore

et la formule (i) devient

Qa("^^R«('«^= -rt('")«^'").RQ.

D'ailleurs, comme QR^o, «^^'^^a^"^ est bien la condition nécessaire et suffisante pour que Qa('"^R«^'"^ = o; ce qu'il s'agissait précisément d'établir.

Théorème III. — Si en deux points quelconques, mais distincts, de la droite a, les plans tangents sont différents, P «^'"^ étant, par exemple, le plan tangent en l'un d'eux P, et si a est une forme non nulle du troisième ordre qui renferme la

forme a {c/.a — o), le plan a est tangent à la surface réglée au point aa'^"^K

Dém. — aa^"'Ka^"'^ est le plan tangent au point aa^'"), mais

le théorème II donne «('«>«("') ^o, c'est-à-dire que

planaa^'"^a^'"^ = plana, ce qui démontre le théorème.

Théorème IV. — Lorsque a varie, en conservant les hypothèses du théorème III, le faisceau de plans a est projectif aux points de contact de ces plans avec la surface réglée {les points aa^'"^).

Dém, — A deux plans a différents correspondent deux points distincts (xa^'"^ et réciproquement : donc la correspondance entre les plans a et les points ota^"^^ est univoque et réciproque.

Posons alors

Pi = ^iQ-+-jiR, Pj = XîO-t-r2R.

Le double rapport de la suite de points Q, R, P,, P2 (qui dépend uniquement de la position des formes 0> R> Po P2) est le nombre

QPi RP2 ^jiQR ^2RQ^ji52 RPi QP2 JTiRQjaQR ^ij2*

Mais nous savons que

Pia('«) = a;iQa('«^ + jiRa^'"', ^^a^"^'' = x^Vc6"^^ -^ j^^a^m\

et par suite le double rapport de la suite de plans Qa^"^\

Ra^'"^, Pia^"^, Paa^'") est encore le même nombre •^-!^«

46. Surfaces réglées gauches. — Nous dirons que la surface réglée a est une surface gauche réglée lorsque, pour toute valeur de ^ les plans tangents (s'ils existent) en deux points distincts de la droite «, ne coïncident pas, excepté peut-être pour les droites a qui correspondraient à un système de valeurs isolées de t dans l'intervalle considéré ; de telles génératrices seraient alors dites génératrices singulières.

Si nous supposons que Va! soit le plan tangent en chaque point P d'une génératrice non singulière quelconque, le théorème II du n° 45 montre que pour toute valeur de t, à laquelle correspond une génératrice non singulière, a' a' yio, c'est-à-dire que a' n'est pas réductible à un segment ou à un bivecteur, mais est toujours la somme d'un segment et d'un bivecteur. De même, si a est une forme du troisième ordre avec aa --0, le théorème III du n° 45 prouve que le plan a touche la surface gauche réglée a au point aa' .

a. Dans le cas où la forme a n'est pas un bivecteur, pour une valeur donnée de ^, on appelle plan asympto tique de la surface pour la génératrice a le plan tangent à la surface au point à l'infini sur la droite <7, c'est-à-dire précisément le plan tangent au point «w. Le plan asymptotique pour la génératrice a est donc le plan a^^.a' ou le plan a' (si. a, cai', puisque aa' = o, on a (page ^9)

aiii.d rzz aa' .a» — lùa' .a =: — a' m .a.

Le plan qui passe par la droite a, perpendiculairement au plan asymptotique, est dit plan central de la surf ace pour la génératrice a\ et son point de contact avec la surface est appelé point central de la génératrice a. Le plan central pour la droite a est donc le plan a\{a(ù . a' (j^) , puisque le plan asymptotique a'w. a possède la' môme orientation que le bivecteur ûîw.a'co; de même [a|(aûû.a'aj)]a' est point central de la droite a.

On appelle ligne de striction de la surf ace gauche réglée a le lieu des points centraux sur les droites a.

b. Si ^1 est une génératrice de la surface gauche réglée a, le plan asymptotique pour la droite a est la position limite

go CHAPITRE II.

(lu plan qui passe par la droite a parallèlement à la droite a^, lorsque celle-ci, en variant sur la surface, tend à coïncider avec la droite a.

Posons ai=:a{t + h); le plan parallèle à «i qui passe par la droite a est le plan «.«^ico, et en développant «i par la formule de Taylor on a

a.aïUi = a.[aiù -{- Ii{a' -r- 7 ) w] = /i{a.a' ix> -h a.qoù), OÙ g satisfait à lim^ — o; ainsi donc

limplana.rtiw — plana.a'ia,

ce qui démontre la proposition.

Si modPPi représente la plus courte dislance entre les deux droites a et a,, le point central pour la droite a est la position limite du point P^ lorsque «i tend vers a en restant sur la surface. En effet, le point Pi n'est autre que le point [a|(aw.a,&))](^i; en développant ai par la formule de Taylor et passant à la limite on obtient le point [u\{a(^.a' (ji)]a' qui est point central pour la droite a.

c. Si b est une forme non nulle du deuxième ordre à in-, variant nul, on peut aisément démontrer que la droite Va' .b décrit un hyperboloïde ou un paraboloïde de raccordement à la surface tout le long de la droite «, lorsque le point P se déplace sur la génératrice même a. De même, étant

limPrt'.«i — Pa'.a'f

la droite Pa' .a" décrit bien l'hyperboloïde osculateur à la surface tout le long de la droite a,

d. Soient P(0 ^^ point (non à l'infini) et l{t) un vecteur unité; posons «== PI, la droite a décrit une surface réglée quand t varie dans l'intervalle considéré. Cette surface est gauche si

a' a' =-- (P'I H- PI') (P'I ^ PI') = 2PP'ir ^ o,

c'est-à-dire si les vecteurs P', F ne sont pas nuls ni les vec-

leurs P', I, r complanaires ; PU' est alors le plan asymptolique pour la droite PI. V étant perpendiculaire au vecteur I, le point P décrit la ligne de striction de la surface lorsque les vecteurs P^ I, |ir sont complanaires et réciproquement.

Supposons maintenant que la ligne P soit ligne de striction de la surface gauche réglée PI : le fait que les vecteurs P', I, |ir sont complanaires donne

p' = //i + A|ir,

où hj k sont des nombres réels (A-^o car PP'IP n'est pas nul). Si Q est un point de la droite PI on aura

où X est un nombre réel, et puisque Q(PI)' est plan langent au point Q on peut écrire

Q(PI)' = (P-i-xI)(P'I-]-PI')

= (P -^xl) (AI 1 11'+ PF) - P(Â:1 1 ir - xW).

Mais les bivecteurs I jH', IF ont même module et sont rectangulaires; de sorte que, si Q est l'un des angles formés par le plan tangent en Q avec le plan central, on aura

tang ^ — T'

formule qui est due à Chasles. Le nombre k est appelé paramètre de distribution de la génératrice PI.

47. Surfaces développables. — Nous dirons que la surface réglée a est une surface développahle quand pour toute valeur de t les plans tangents, s'ils existent, en chaque point de la droite a, excepté un seul au plus, coïncident avec un plan fîxe^ appelé />/aAi tangent tout du long de la droite a.

Supposons donc que le plan tangent soit Va' en chaque point P d'une génératrice, excepté au point Q : le théorème I du n° 45 prouve que, au point Q, le plan tangent sera Qa'\ ou Qa'", . . ., à moins encore qu'il ne soit indéterminé : de même, le théorème II du n° 45 est applicable et permet

d'écrire, pour chaque valeur de t, a'a'zr^o^ c'est-à-dire que a' est un segment ou un bivecteur : la droite a' est d'ailleurs contenue dans le plan Pa', tangent précisément tout le long de la génératrice a, car Pa'.a' == — Pa'.a'4- a'a'.P, d'où Va'.a'=o,

a. Soient 0 une forme constante, non nulle cependant, du premier ordre, et A(0 une forme non nulle du même ordre; la forme du deuxième ordre OA engendre un cône de sommet 0; dans le cas où le point 0 est à l'infini, la surface OA est encore appelée cylindre. D'autre part, on sait que (OA)' = OA', c'est-à-dire (OA)'(OA)'r=o, ce qui prouve que le cône est une surface développable, en même temps que le plan tangent au point 0 est indéterminé, car, quel que soit le nombre entier positif x, on aura 0 (OA)^*^ = 0 . OA^*^ = o. Le plan tangent tout le long de la droite OA est OAA'.

b. Si, pour chaque valeur de ^, a(£)^o et a.a'co.a"ù)7^ o, on peut énoncer les théorèmes suivants :

Théorème I. — Le plan tangent tout du long de la droite a est a(ji.a', ou encore le plan a'(ù.a, identique au premier.

Dém. — On a a(xi.a'^=iaa' .ui — a'cjd.a —: — «'&).«, et comme aM'(x)^o, le plan tangent au point de l'infini «w est précisément le plan aa).a'= planw'co.a, tandis que le théorème 1 du n° 45 implique au plan aod.a' d'être tangent tout le long de la droite a.

Théorème II. — L'enveloppe dont les plans sont tangents à la surface a a pour caractéristiques les droites a,

Dém, — En posant azzza'tMi.a. Nous aurons

a' = a" w . rt 4- a' to . rt' = a" co . «,

car a' est un segment eta'co.a'=o; il suffit alors d'effectuer le produit régressif aa' pour voir que

aa'= (n'(x>.a){a"(jj.a)

= [a' (à( a" lù .a)]a -+- [a{a"Lo.a)]a'b} = (n.a' M.a"ui)a,

ce qui démontre le théorème.

Définition. — On appelle arête de rebroussement de la surface développahle a, la ligne de rebroussement de l'enveloppe de ses plans tangents.

Théorème III. — IJ arête de rebroussement de la surface a peut être considérée comme engendrée par le point a{a' .a"(,i).

Dém. — Soit a = a'G3.a; on a

a' = a" bi.a et a" = a"'oi.a -\- a" w . a', d'où

oLoi'a" = (a.a'M. a" o})[a{a"' oj.a)-\-a{a" oi.a')] = (a.a' lù. a'oj ) a (a' a" . w), ce qui établit le théorème.

Théorème IV. — Le point de l'arête de rebroussement qui appartient à la droite a est donné par le produit régressif aa' développé sur le plan tangent tout le long de la droite a.

Dém. — En effet, le produit progressif aa' étant nul, les droites a, a' ont un point commun, et ce point est effectivement le point commun à la droite a et au plan a' .a" {ù.

c. SoitP(0 un point tel que PP'P''^ o pour toute valeur de t : comme (PP')'(PP')'=PP"PP"=o» la droite PP' décrit une surface développable qui admet comme plans tangents, les plans osculateurs PP'P" à la courbe P, car

(PP'.a))(PP'y = F(PP")=— PP'P";

celte surface développable PP' est appelée développable osculatrice de la courbe P.

§ 4. - FORMULES DE FRENET.

48. Arcs. — Soient P(^) un point fonction continue de t\ a, b deux valeurs particulières de t, et ^i, t^, ..., ^„i une suite de valeurs telles que «^ ^i^^2<- • •< ^/i-i< ^> ou bien encore a ^^1 5 ^2 >• • •> ^/i-i> ^> selon que «^Z^oua^ è :1a limite

supérieure de l'ensemble des nombres que l'on peut déduire de

(i) modP(rt)P(?,)-i-modP(?,)P(^J-^,..+ modP(/„-i)P(/^),

en faisant varier la suite ^i, t^, . . ., t^-u est appelée longueur de l'arc {sur la ligne P) limité par les points P(«), P(^), et se représente par le signe arcP(«)P.(6). La droite limitée aux points P(a), P(^), de longueur modP(«)P(è), est encore dite corde de l'arc V {a) P(^).

Dans ces conditions, s'il existe un nombre supérieur à toute valeur de (i), arcP(<2) P(6) est un nombre réel bien déterminé, sinon arcP(a) P(6) =00. On a toujours, par exemple,

modP(«)P(^)^arcP(«)P(/^) et arcP(«)P(rt) = o.

Théorëme I. — Si P(0 ^^t un point, P'(^) une forme {vecteur) fonction continue de t et si, pour une valeur particulière t' de t, on a P' {t') ^Oy le rapport d'un arc de la ligne P à sa corde a pour limite l'unité quand les extrémités de Varc tendent vers le point P ( ^' )•

Dém. — Il résulte des hypothèses et du théorème IV du n° 42 que la tangente à la ligne P en P(^') est la position limite de la droite qui joint deux points quelconques de P lorsque ces deux points tendent à venir coïncider au point P(^'); on peut donc déterminer deux valeurs différentes a et h pour ^, telles que a'^t'^b et que, de plus, la droite qui joint deux points quelconques de l'arc V{a)V{b) fasse avec la droite V{a) V{b) un angle inférieur à un angle donné B

compris entre o et -•

t^-^ia^ ^1, ^2) • • -5 ^«-i> tn^=^b ayant la signification précédente, si l'on pose P,.=:P(^,.) pour r := o, i, ...,«, on peut écrire

(P„-Po)2=(Pi-Po)I(P„-Po)

+ (P2-P1) I (P«- Po) -H. . .+ (P«- P«-i) I (P«-Po),

et la division par

mod(P„— Po) = modPoP«

donne

modPoP,, = modPoPi cos»i-^. . .-4- modP,i i P„ coscp„, où

Or= (P/— P/-1, P«— Po) pour /• = 1,2. . . .,«;

d'où l'on déduit que

( 2 ) mod Po P« = ( mod Po Pi -f- . . . + mod P«-i P« ) cos o :

9, dans cette formule, représente un angle moyen entre les angles Oi, 02, . . ., q„. Il résulte, notamment, de cette équa-

' PoP

tion (2) que le nombre (1) est toujours inférieur à mod^ — ^^

et, par conséquent, arcPoP„ est un nombre réel bien déterminé. La formule (2) subsistera donc à la limite supérieure, c'est-à-dire que

modPoPrt= arcPoP/iCos()',

où d/ est un angle moyen parmi les angles que font avec PoP« les droites qui joignent deux points quelconques de l'arc PoP». Si nous faisons désormais tendre P(«) et P(^) vers le point P(^'), ^ tend vers zéro, d'où l'on déduit

,. arcP(rt)P(/^)

lim ,^, . , ', , . = lim

modP(a)P(6) .^^ocostj; ' ce qu'il fallait précisément démontrer.

Théorème II. — SiP{t) est un point, P' {t) un vecteur non nul, fonction continue de t, et si, en outre, a et b sont deux valeurs de t telles que af; 6, on a

arcP(«)P(/>') = / modû?P.

Dém. — En convenant d'indiquer par AarcP(a)P(^) l'incrément de la fonction arcP(a) V{t) lorsque t passe de la valeur t à la valeur ^ 4- A, on aura manifestement

A arc P(rt)P(0 = arcP(OP('-i-/0 arcP(0P(^-4-//) ~ modP(OP(^-+-/0

mod[P(i + /0 — P(0]>

ro/j CHAPITRE II.

el, en appliquant le théorème I pour passer simultanément à la limite h ^ o,

rfarcP(a)P(0 = mod r/P,

formule qui démontre le théorème.

49. Soient P ( /) un point, P'( ^) un vecteur non nul fonction continue de t; par la notation s{t) ou, plus simplement, 5, nous représenterons toute fonction de t telle que s -\- c reste bien défini par l'équation

( I ) ds =^ mod c?P,

la constante numérique c ayant été, d'ailleurs, arbitrairement choisie; celte équation peut encore s'écrire, puisque dt est positif,

ds .d?

(iV -r = mod-> •

^ ^ . dt dt

Nous appellerons alors s l'arc de la ligne P et si a, b{a^ b) sont deux valeurs quelconques de t, on a

arcP(«)P(/>') = s{b) — s{a).

Nous appellerons encore origine des arcs sur la ligne P le point P(a) pour lequel 5(a) =1 o.

Lorsque t varie dans l'intervalle considéré pour tendre vers une valeur t^, à condition toutefois que limP soit un

point projectif Pq bien déterminé, nous poserons

arcP(rt)Po= lim / modr^P= lim [s{t) — s{a)\.

Exemples. — i" En considérant, en particulier, les coordonnées cartésiennes orthogonales

p ^O-h^I-^jJ-^ 2K

avec trois fonctions x, r, z de ty on a

cl?=- dxl-^ dj\-^dzY^,

FORMES VAllIABLES. 100

d'où

la formule ordinaire de Géométrie analytique. Si l'on veut encore

cos(r/P,I)= ^, cos(^P, J)= %, cos(//P, K)= -~

(a*S (tS cts

donnent les cosinus des angles que fait la tangente au point P avec les axes coordonnés.

2*' En coordonnées polaires sur le plan, on aurait

d^ — (dp + ip d^)ei9l,

ds = \/dp^-^ p^d(f^.

3« Le point P = 0 H- e«?e^?I {a -^ o) décrit une spirale logarithmique quand cp varie de — oo à + oo : si Ton prend précisément 9 pour variable indépendante

et donc

modP' = v^i -h rt2e«<p,

ou encore

Si 9o et 9i sont deux valeurs particulières de cp

Jr ^' i/( 4 /ïi ' e«? d^ = (e«?i— e«cpo),

et l'on a

lim arcP(cpo)P((pi) = -e^?!.-

en prenant donc pour origine des arcs le point asymptotique 0

de la courbe, on aura, quel que soit 9,

50. Courbure et rayon de courbure. - Soil encore P(^) un point tel que les vecteurs P'(^), P"(0 soient bien déter minés pour toute valeur de /, ainsi que, en outre, V{t)^zo.

Si s représente l'arc de la ligne P, nous pouvons considérer P comme fonction de la variable s, et la formule ds = mod dP permet d'obtenir les dérivées de P par rapport

d? dP dt a 5 en observant que -y- = 7- -7-.

^ as dt ds

Si nous posons

T est un vecteur unité parallèle à la tangente de la ligne P au

f/P dP

point P, car ^7- = — r— 77: résulte de modP 7^0; le vecteur * ds mod dV ^

-TT = -yr ^^^ ^^^^"^ détermine puisque P" lui-même 1 est aussi, et si T ^ ^ G, le plan PT —r- est osculateur au point P.

En posant

(2) - = mod -7-

Q ds

nous appelons courbure de la ligne P au point P le nombre - ;

l'inverse de la courbure (p) est dit encore rayon de courhure au point P.

Théorème. — Pour que la ligne P soit une ligne droite, il faut et il suffit que la courbure soit nulle en tout point P.

Dém. — En effet, si le point P décrit une ligne droite, P — 0 -+- 5I, où 0 est un point fixe de la ligne P et I un vec-