Si, quel que soit ty -7^0, nous poserons
.3) ^'(^)==pS'
c'est-à-dire [formule (2)]
en
mod -7ds
Le vecteur -j- n'étant pas nul, puisque, par hypothèse, - ^o, N est un vecteur unité tout comme T auquel il est per-
pendiculaire; ainsi donc N, parallèle au plan osculateur au point P, est le vecteur parallèle à la normale principale au point P (M.
En conservant les hypothèses précédentes, on voit que : PT est la tangente, PN la normale principale et PTN le plan osculateur au point P.
Le point Q == P + pN, situé sur la normale principale au point P, sera appelé centre de courbure au point P.
Exemple. — i*'' En coordonnées cartésiennes orthogonales, P = 0-i-.rI-^jJ-i-3K,
(' ) Si, pour une valeur de ^, - =: o et que le plan osculateur au point P soit P déterminé, le sens seul du vecteur unité parallèle à la normale principale au point P restera indéterminé.
d'où
d^ dT d^ d^ d'-z
ds'^ ~~ ds ~ ds^ d^ ds-^ ' et
Comme, au reste, -^— est parallèle au vecteur N on aura
cos(N,I)=p ^, cos(x\,J)=p-^, cos(N,K)=p-^,
égalités qui donnent les cosinus des angles que fait la normale principale avec les axes coordonnés.
Le centre de courbure Q aura de même pour coordonnées X,Y, Z
^ ds^ - ' ds^ ' rfv2
ds
2^ Posons (^=: — . (Si la variable ^ figure le temps, v est la
grandeur de la vitesse au point P.) P'=:t^T et prenons la dérivée par rapport au temps, on a
dl ds ,, p«
a,y rf ^ p
OÙ — N est la composante normale du vecteur P" (accélération); si donc l'on pose comp.norm.P^i^ — N, il vient l'équation
mod comp. norm. P"
qui fournit une construction fort simple du centre de courbure, connaissant les vecteurs P', P". Par les points P H- P', P + P"(y?^. 5) menons (dans le plan osculateur en P) des parallèles aux vecteurs N, P' qui se coupent en M; la perpendiculaire à PM issue du point P 4- P' rencontre la normale
[OQ
principale PN au centre de courbure Q, et ceci résulte, immédiatement, de la considération des triangles semblables dont les sommets sont les points P, P -h P', Q et P + P', M, P.
S*' Le point P = 0 4- he'^l -h Ae-'?I décrit une ellipse dont les demi-diamètres sont h-\- k et h — k; alors
d'où
mais
P' = hc^^ il — /ie-'9 ÏL P" =- — he^^ I — Ae-'9 1,
et {exemple 2"), pour obtenir le centre de courbure au point P {/ig* 6), il suffit de tracer le parallélogramme cir-
conscrit à l'ellipse et d'effectuer la construction indiquée par la figure.
4'^ Pour la cycloïde {voir n" 17) on a de même
V =zrl — re-in = f(M — P), P"= re-'9il =C — P:
d'où il résulte que le module de la composante normale de V est égal à |mod(M — P), et par conséquent,
p = 2mod(M — P),
c'est-à-dire que le centre de courbure QirzP-i-pN est tel que P 4- Q :=r 2M, et que l'expression du point Q est
Q = M -+-(M — P) = 0-~ro\ — ri\ -h re-^^il.
Si nous indiquons alors par Oi le centre de courbure de la cycloïde au point P (tt) on voit que
Oi= 0-{-rTA — iril, d'où résulte aisément, pour le point Q,
et Q décrit une cycloïde égale à la cycloïde du point P que l'on peut déduire de cette dernière par une translation dont le vecteur ml — 2 ril donne la grandeur, la direction et le sens.
52. Supposons maintenant que la ligne P soit plane (nor» droite); le vecteur N est parallèle au vecteur iT et nous pouvons donner à la courbure -un signe tel que l'on ait, pour toute valeur de 5,
a. Le lieu du centre de courbure de la ligne P est le lieu des caractéristiques de l'enveloppe des normales à cette ligne, car, en posant a = P^T, on voit que
as p
et le développement da produit régressif a -j~ donne précisément
as p 2 p "^ ^
relation qu'il s'agissait d'établir.
b. Posons a = (I,T) en prenant pour I un vecteur unité tixe du plan de la courbe P; a est une fonction de 5, telle que
En effet et
Ts
COSa
UT
da. I - . . .„^ I ,^ I . — sina-^ = -\i{iT)~ IT = sina;
as çt p p
donc
doL I
ds p
si sina^ o; mais, dans le cas où l'on aurait sina r= opour une certaine valeur de 5, si h est une constante telle que
sin(a 4- //) jzf o, on aurait
d(d-^/t) I doL I ,,s
~^—j - = -7 ou -7- = - (•).
ds p ds p
c. Si l'on donne le nombre p en fonction de 5, la ligne P est déterminée, sauf pourtant sa position dans le plan. Soit, en effet, Tq un vecteur unité constant; posons
on aura
(effh.
clT I .„
-y- = ~lT,
ds p
C) On arrive au même résultat en considérant l'indicatrice sphérique de la courbe P {voir n" 55).
qui n'est autre que la formule (i), et comme
ds '
on a
^Po.(/e
(3) P = Po^ M e-f 9 dsVï,,
formule dans laquelle Po représente un point arbitraire du plan, et les quadratures sont effectuées à partir d'une valeur déterminée de s. En introduisant l'angle a défini en b, la formule (3) prend la forme
(4) P = Po4- ( fe^^ds)
ds]T
Le lieu du point P passe par Po oij elle admet pour tangente la droite PoTo.
Si, par exemple, p est constant, le point P décrit une circonférence, car, en posant .?== ptp, la formule (4) donne
p = Po -r- ("p r e'? d^\ To = Po - p/(e^v - i)To
= (Po-4-piTo) — pe'?/To,
et il est manifeste que le point P décrit une circonférence de centre Po4- piT^ et de rayon p.
Le lecteur pourra, à titre d'exercice, déterminer l'expression du point P dans les cas suivants :
Développante de cercle p'^ = 'las
Épicycloïde, hypocycloïde, cycloïde ~i "^ /a ^ '
Spirale logarithmique p = «v
Clotoyde ps — a^
Tractrice p = a\ e"—i
Chaînette p = a ^ —
FORMES VARIABLES. Il3
d. En supposant que le point P décrive une courbe gauche, un point quelconque Q de la surface réglée développable décrite par PT a pour expression Q = P + wT, où u est une fonction de s. Soit, en outre, Pi(5) un point qui décrit une ligne plane d'arc s et dont la courbure en chaque point est la même que celle de la courbe P au point correspondant. On peut représenter les points de la surface développable PT sur le plan de la ligne Pj en faisant correspondre au point Q le point
Ql=PlH-«Ti,
et comme
mod^Q = iiiodc?Qi = 4 / f 1+ — j h — ^ds,
la correspondance considérée conserve la grandeur des arcs tracés sur la développable. Nous exprimerons, en général, cette propriété en disant que l'on peut développer la surface PT sur un plan, ou encore en disant plus simplement que la -iirface PT est développable.
Exemples, — i" Si la courbe Pi roule sans glisser sur une autre courbe P, la trajectoire d'un point Q, invariablement lié à Pi, est appelée roulette. Soient donc 0 un point fixe de
la courbe P {fig, 7), et Qola position de Q quand la courbe Pi touche P au point 0 : si l'on a
arcOP = arcOPi,
nous pouvons considérer les points P et Pj comme fonctions
I d'une môme variable s, arc commun aux deux courbes. En B.-F. 8
Il4 CHAPITRE H.
indiquant par Ti, pi, pour Pi, les éléments que nous avons appelés T, p, relativement à P et supposant que le point Pi prenne la position P après roulement d'un angle 9 (fonction de 5), on a
(5) T = e'-?T,, Q-P = e'?(Qo-Pi).
Prenons la dérivée de la première égalité; il vient, d'après la formule (i),
p pi ds
ou, pour la première des formules (5),
^ ^ p pi as
et Ton retrouve ainsi la formule même due à Savary. Si nous dérivons maintenant la seconde formule (5), il vient
OU
qui démontre que, dans le cas - ^ — :» la normale au point Q
de la roulette décrite par Q est la droite qui joint le point Q au point de contact de la courbe mobile avec la courbe fixe.
2« Si le point P, décrit le lieu des centres de courbure de
la courbe P on aura Pi — P -h p «T et que l'on appelle ^i et —
Pi
l'arc et la courbure en Pi de la courbe Pi avec Ti — -^- , nous
dsi
aurons —7-^ = -r-^T; si p est une fonction croissante dans l'inas as ^
lervalle considéré, on a
IID
dsi = dç),
soient donc a qI b deux valeurs de 5, ((2 < ^); la formule (i) donne
qui montre que l'arc ^^[a)Vi{b) est égal à la différence des rayons de courbure aux points P{a) et P( 6). D'autre pari, on peut, des formules (j) et (2), déduire
dix dix ds i ds dsi ds dsi
I ds
p dp p dp
^'Tt,
et, comme dp est positif,
dp
3« Soit maintenant a un nombre constant : posons Pi = p + aT et P2 = P+p/T.
On a
et, par suite,
ds p
P2— Pi)^'^ -(p^T-aT)iYT+^iTJ =
relation qui prouve que la normale au point Pi à la ligne P^ passe par le centre de courbure au point correspondant P de la ligne P (i).
(') De môme si le point P décrit une courbe gauche et si P, = PH-aT, P^=P + pN, on a
(P,-PJKP,= o,
ce qui montre que le plan normal au point P, passe par le centre de courbure Pj au point P.
Il6 CHAPITRE II.
4'' Soit encore Pi=P -h «jT {fig. 8), où u^ est une fonc-
Fis:. 8.
lion de l'arc .9 du lieu du point P : posons
«1 = /^T, ^^ , M = P + p«T, Qi = P -i- «1 cotai tT. Comme
^1 ds
on aura
Hî)^
sinai = —
mais, si s^ est l'arc de la courbe décrite par le point P,, on a
et
ds^ = ( mod — 7-i ) ds, d'où ds\ = -r-^
' ds ) sinai p
ds^^-^d^,
Siuai
0 étant l'angle que fait le vecteur T avec un vecteur fixe du plan {^voir ce numéro, partie b).
Étant '^ ds
dux ds
-c?Pi\ du y
mod -7- cosai = n- -^-
ds / a.v
(si Wi est une fonction croissante de s) et, en vertu des formules dont nous venons de faire usage pour déterminer la formule (i), on peut écrire aussi
(2) dui = (uiCOloci— p)d^.
En observant alors que Qi est le point de rencontre de la normale au point P avec la normale en Pj, et que M est le centre de courbure au point P, on a l'interprétation géométrique des formules (i), (2), puisque . ^ ? WiCOta, — p sont
les grandeurs des segments PiQi, MQi- Les formules (i), (2) sont dues à M. Mannheim (Cours de Géométrie descriptive) au Traité duquel nous renvoyons le' lecteur pour les applications.
5^ Supposons toujours que a est un nombre constant et posons Pi=P + aT : quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que le point Pj décrive une ligne droite? Si
^ est la courbure au point P,, le lieu du point Pj sera une
ligne droite quand on aura - =0 pour toutes les valeurs de 5.
Pi
On peut parvenir à cette condition en utilisant l'expression de cTTi, mais on trouve plus simplement le résultat en observant que le point Pi décrit une ligne droite quand le vecteur dPi a une direction constante, c'est-à-dire (i^oir n*^ 37 h)
dp d'^ P
quand -^ -j^ = o, pour toutes les valeurs de s. Or on a, puisque nous supposons - ;?= o,
ds p p
dSi p p2 p2 ds p^ L V ^'^ / J
ûfPi d^i ^ 2.
ds ds'^ p'^
en sorte que le point P, décrit une ligne droite, quand, pour
dp
I l8 CHAPITRE II.
foute valeur de 5,
(i) ap^ = p^-ha^,
ou bien encore
<7o étant une constante arbitraire non nulle.
Quelle que soit a^^ il existe une valeur de s pour laquelle p = o, et comme les formules précédentes subsistent à la limite, pour p — 0, si l'on prend pour origine des arcs, le point correspondant à p^^^o, on trouve précisément a^zzza comme valeur de la constante, de façon que la condition cherchée prenne la forme
La courbe décrite par le point P^, dont le rayon de courbure est donné par la formule (2), est une tractrice et le lieu de ses centres de courbure est une chaînette; le troisième exemple fournit de plus une construction géométrique très simple de la tractrice, quand la chaînette correspondante est connue, et réciproquement.
Dans une chaînette, appelons o- et - l'arc et la courbure au
point qui est précisément centre de courbure de la tractrice Pi enPj; le deuxième exemple nous indique que dG:=dp; mais, pour 5 = o, on a p r=o, et en supposant simultanément a =: o, on pourra écrire
Cependant, le même exemple nous donne encore
dQ
et la formule (i)
expression qui, comparée à la formule (3), donne finalement
relation entre l'arc et le rayon de courbure d'une chaînette.
53. Torsion et rayon de torsion. — Si la ligne décrite par le point P n'est pas une ligne droite et que la fonction P satisfasse aux conditions énoncées au n° 51, les vecteurs unités T, N sont déterminés et en posant, pour toute valeur de 5,
le vecteur B ainsi défini est parallèle à la binormale au point P.
En admettant que -j- soit une fonction bien déterminée de 5, -j-, est un vecteur normal au vecteur B; c est-a-dire pa-
rallèle au plan PTN osculateur en P, à moins, toutefois, que cm ds
ce vecteur -7- ne soit nul ; étant donné encore que B | T = o.
on a
cm
cls
p ds
(car B|N = o),
et le vecteur-^ est nul ou parallèle au vecteur N.
Nous représenterons par - le nombre réel, positif, négatif ou nul, tel que
^ ^ ds -z
La valeur absolue du nombre - est alors le module du vecteur -y-j et on appelle torsion de la courbe P au point P, le
nombre -, ou bien encore rayon de torsion au point P l'inverse de la torsion.
Théorème. — Pour que la ligne P soit une courbe plane, il faut et il suffit que la torsion soit nulle, quelle que soit la valeur de s.
Dém. — En effet, si la courbe est plane, B est un vecteur perpendiculaire au plan de la courbe et, par conséquent,
-— = o ou - = o;
ds 1
ce qui montre que la condition énoncée est bien nécessaire.
D'autre part, supposons - ^o pour toute valeur de s; B est
un vecteur constant, et si, ?„ est un point fixe sur la ligne P, on aura
^[(P-Po)|B] = T|B = o;
c'est-à-dire que (P — Po) | B est un nombre constant; mais, en faisant tendre P vers Pq, le vecteur P — Pq tend vers un vecteur parallèle à T et, par suite, (P — Po) | B =o, ce qui revient à dire que la courbe P est tracée sur le plan P© | B : la condition est donc bien suffisante.
54. Formules de Frenet. — Relativement aux vecteurs T, N, B dont la signification géométrique est connue, nous avons les formules
(3) T = |NB, N = |BT, B = | TN,
qui expriment que T, N, B sont des vecteurs unités (i), perpendiculaires entre eux deux à deux (2); le tri vecteur TNB est d'ailleurs positif et égal à |w, et comme nous supposons
implicitement
ds
pour définir le signe T, il vient
ds p '
ds~ x^'
dN ^lj
\ ds p
Les deux premières de ces formules sont déjà connues [n" 51, formule (3) et n° 53, formule (2)] et pour démontrer la troisième, il suffit déconsidérer l'expression Nr= | BT, d'où l'on déduit immédiatement que
ds p
