NT

BN

En représentant par I, J, K trois vecteurs unités rectangulaires, on peut écrire, en partant des formules (4),

^cos(T,I) = -cos(N,I), ds p ~ ' ^

^cos(T,J) = ^cos(N,J),

^^cos(T,K)

cos(N, K),

-T cos(B, I)= -cos(N, I),

ds

cos(N,I)

-cos(T, I) cos(B,I),

(') Les équations linéaires (4) montrent qu'une courbe est déterminée à la position près, quand on possède^ en fonction de l'arc, les expressions de la courbure et de la torsion - et -• En effet, en prenant deux vecteurs unités rectan-

car, par exemple,

ou

ds i p

^,(TlI) = p^(NlI).

Les formules (4), connues sous la forme (5), sont dues à Frenet, bien que souvent appelées /or/nw/e.? de Serret.

55. Indicatrice sphérique et angle de contingence. — Soient I(^) un vecteur unité à dérivée non nulle dans l'intervalle considéré et 0 un point fixe; si l'on pose

le point Q décrit sur la surface sphérique de centre 0 avec l'unité pour rayon une courbe Q dite indicatrice sphérique du vecteur I; dans le cas particulier où le vecteur I est parallèle à un plan fixe, la courbe Q est un arc de cercle maximum sur la sphère. Si l'on représente par 9 l'arc décrit par le point Q, on aura

(i) do — moAd?.

Si T, N, B sont les vecteurs déjà considérés relativement à la courbe P, et si nous posons d'une manière analogue

Qi = 0 + T, Q2=0-f-B, Q3-0-^N,

les points Qi, Q2, Q3 décriront, respectivement, les indicatrices sphériques de la tangente, de la hinormale et de la normale principale de la courbe P, courbes dont les arcs 91, 02J 93, en vertu de la formule (1) et des formules de Frenel,

gulaires T^ et N,, et posant B„ = |T(,No, on peut exprimer T, N, B en fonction des constantes Tq, No, B^, par des développements en séries convergentes [voir G. Peano, Integrazione per série délie equazioni differenziali lineari ( Àtti

Ace. Torino, 1887 )] : donc, si P,, est un point fixe, on a P = Pg+ iT ds et

la courbe P est déterminée, à la position près ; elle passe par le point P^ et les droites PoT^, PoN^, PoE^ sont respectivement la tangente, la normale principale et la binormale en ce point.

sont donnés par les équations

cl(pi = - ds\,

iiiocIt

dont les deux premières fournissent une interprétation géométrique de la courbure et du module de la torsion au moyen des indicatrices sphériques de tangentes et de binormales à la courbe P. Pour plus de symétrie encore, nous dirons que

-et - sont la première et la deuxième courbure de la courbe

P au point P, ce qui nous conduit naturellement à désigner par Y la troisième courbure (ou courbure normale) en posant

avec le choix du signe -\- devant le radical. La dernière des trois formules précédentes exprime alors que l'arc élémentaire de l'indicatrice sphérique des normales principales au point correspondant du point P est égal au produit par ds de la troisième courbure en P.

Mais revenons un instant au vecteur I pour appeler aussi dof Vangle de contingence du vecteur I, ce que l'on exprime habituellement en disant que le vecteur 1 fait l'angle do^ avec le vecteur infiniment voisin \{t-^c-dt); au reste, la signification exacte de ces mots n'est autre que celle qui est exprimée par la formule (i) et l'interprétation géométrique est fournie par l'indicatrice sphérique du vecteur I. Si, en particulier, le vecteur I est parallèle à un plan fixe, <^9 représente l'angle formé par di avec un vecteur fixe du plan.

Nous dirons que l'angle de contingence du vecteur J(0, supposé différent de zéro, ainsi que sa dérivée, dans l'intervalle considéré, est l'angle de contingence du vecteur unité