Surface des binormales. — Si nous posons
a = PB,
il vient
ds T '
et, par suite,
ds ds T
et:
La surface des binormales d'une courbe gauche est une surface gauche réglée^ et réciproquement.
Puisque, d'ailleurs, le plan P -^ = plan PTB est tangent en P à la surface des binormales, on peut encore dire :
La surface des binormales et la surface rectifiante d'une courbe P se raccordent suivant la courbe P.
Le plan asymptotique pour la génératrice a est
plan «. -^ w = plan PB ( - N j = plan PNB, et, par suite :
Les plans asymptotiques de la surface des binormales sont
plans normaux de la courbe P, ou, en d'autres termes, la surface des binorniales et la surface polaire se raccordent tout le long de leurs courbes à l'infini.
Le plan PBT étant encore perpendiculaire au plan PNB, on a :
La ligne de striction de la surface des binorniales est précisément la courbe P.
Étant on a que
ds
Le paramètre de distribution de la génératrice PB est le nombre z.
63. Surfaces réglées gauches dont la ligne de striction est donnée. — La surface des binorniales de la courbe gauche P n'est pas la seule surface gauche réglée, admettant la courbe P pour ligne de striction, et nous allons à présent nous proposer de déterminer toutes les surfaces gauches réglées, dont la courbe P soit précisément ligne de striction.
Soit, à cet effet, U(5) un vecteur unité, encore indéterminé, tel que la surface gauche PU admette la courbe P pour ligne de striction; nous aurons
^(PU)|(PU) = PTuf,
et la surface engendrée par la droite PU sera gauche si pour toute valeur de s
c'est-à-dire si U n'est pas constant et que le vecteur -j- ne
soit pas complanaire avec les vecteurs T et U. Dans ces conditions, le point central sur la droite PU est, en vertu du
l4o CHAPITRE III.
n° 46, la position de la forme
(pu|uf)(T..pf) = (puf|OP-(prc,.f)u,
c'est-à-dire que la ligne de striction de la surface PU sera la courbe P si l'on a, pour chaque valeur de 5,
<-) TU|uf = o, et Uf
as
La seconde de ces conditions est toujours vérifiée si la dérivée de U diffère de zéro, mais la première exige que le
vecteur -j- ne soit pas complanaire avec les vecteurs T, U.
Par conséquent :
Toutes les surfaces gauches réglées dont la ligne de striction est la courbe P sont engendrées par une droite PU, oii U est un vecteur unité, à dérivée non nulle, non parallèle au vecteur T et défini par V équation différentielle
(.) TU|uf = o.
Si donc nous posons
OÙ X, y, z sont des fonctions de s telles que .r- -i- r' -1- c^ = i ,
un calcul fort simple prouve que la condition (2) équivaut à
la suivante :
dx I
Si l'on suppose alors connu j, par exemple, en fonction de 5,^ se trouve déterminée; ?>\ x^-\- y^<,i, z Qn résulte également, et le vecteur U est aussi bien déterminé.
Supposons maintenant que l'on ait 7 = o pour chaque valeur de S] œ Ql z sont alors des constantes absolues, et l'on a :
Chaque droite fixe du plan rectifiant au point P, qui, en passant par P, ne coïncide pas avec la tangente en ce point,
APPLICATIONS. l4l
décrit une surface gauche réglée, pour laquelle la courbe P est ligne de striction,
64. Surface réglée développable décrite par une droite dont la position est fixe par rapport au tétraèdre PTNB. — Si nous posons
(i) a = xPT+7PN-f-;3PB + wNB + pBT + w'TN,
où X, y, z, u, ç, w sont des nombres constants, tels que
(2) ux -\- vy -^ wz =■ o,
il est clair que la droite a(^s) possède une position fixe par rapport aux droites PT, PN, PB; dans ces conditions
da ~ds
-NB
et la droite a décrit une surface développable quand
da da
ds ds '
c'est-à-dire lorsque
où, d'après la formule (2), quand
wz ux uz -h wx xz y^-\-z^
p2 p2 pX p X
S'il n'existe pas entre - et - de relation à coefficients con-
stants, la droite a ne pourra décrire une surface développable que SI y — z =z u —- w =:z o, c'est-à-dire seulement quand
où h est un nombre constant, d'ailleurs quelconque. La
l42 CHAPITRE III.
droite a est alors sur le plan rectifiant au point P, et parallèle à la tangente en P; la formule (4) donne
- -(P-l-//B)N4-^NT= i^'p + Z^B-Z/^T^N,
et le point d'intersection des droites a et -y- est Pi = P-i-ZiB — Z^£t = P— -(pT-xB),
c'est-à-dire que la ligne de rebroussement de la surface réglée a est décrite par un point de la génératrice de la rectifiante qui renferme P.
Enfin s'il existait une relation à coefficients constants entre
les nombres - et -> relation de la forme (3), il peut exister
des droites a autres que celles qui vérifient l'équation (4) pour décrire une surface développable. En suivant la méthode que nous venons d'indiquer, le lecteur déterminera aisément ces droites pour retrouver les résultats déjà obtenus par M. Cesaro (*).
