TRAJECTOIRES ORTHOGONALES
65. Trajectoires orthogonales des génératrices d'une surface réglée. — Une courbe, tracée sur une surface réglée qui coupe à angle droit les génératrices de la surface, est dite trajectoire orthogonale des génératrices de la surface.
Nous pouvons considérer, en général, une surface réglée comme engendrée par une droite PK, où P(5) et K(5) figurent respectivement un point et un vecteur unité ; une courbe quelconque tracée sur la surface PK est alors décrite par le point
Pl=P-i-MK,
en admettant que u soit fonction de s. Nous allons donc nous
(') Lezioni di Geometria intrinseca. Napoli; 1896.
proposer de déterminer m, en sorte que P, décrive une trajectoire orthogonale des droites PK; pour ce, il faut et il suffit que
et, en vertu de
as as ds
cette condition devient
d'où
u = -Ç{J\Y.)ds,
que l'on peut écrire, d'une façon équivalente,
M = — TcosCT, K)c?j.
Si donc on prend 5 = 0 pour limite de l'intégrale, on voit que toutes les trajectoires orthogonales des génératrices de la surface PK sont décrites par les points
Pi = P- r r(T|K)^^-i-clK,
où c est une constante arbitraire.
Si maintenant la courbe P est supposée être une trajectoire orthogonale, on a T|K^o, ainsi que Pi=P-— cK, ce qui montre que :
La distance est constante entre les points de deux trajectoires orthogonales situés sur une même génératrice.
66. Développantes. — On appelle développante de la courbe P une trajectoire orthogonale de la développable osculatrice de cette courbe. On obtiendra donc le point Pi qui décrit une développante de la courbe P en posant K=:T, dans la dernière formule du n° 65; et il vient ainsi
Pi = P — (^-+-c)T;
l44 CHAPITRE Iir.
on aura donc
d'où
La tangente en P, d'une développante de la courbe P est parallèle à la normale principale au point P correspondant .
Etant
ds^
- \ds p
on en déduit
ds ds^
l±fT-HÎ^^B,
^^^^^pT-xB),
et
La binormale en Pj d'une développante de la courbe P est parallèle à la génératrice de la rectifiante qui passe au point P correspondant.
La courbe Pi ne peut être plane que si la direction du vecteur Bi est constante, c'est-à-dire (proposition précédente) quand la surface rectifiante de la courbe P est un cylindre. Donc :
L'hélice est la seule courbe gauche dont toutes les développantes soient des courbes planes.
Et:
Chaque développante d'une hélice est placée dans un plan normal aux génératrices du cylindre sur lequel l'hélice est tracée, et est une développante de la section normale même du cylindre faite par ce plan.
Le plan normal au point Pj est le plan
P, ^Pl = £^p.TB=Î^^PTB;
ds ^ p
donc :
Chaque développante de la courbe P, a la surface polaire
APPLICATIONS. l45
coïncidant avec la surface rectifiante de la courbe P; ou bien, le lieu des centres des sphères osculatrices d'une développante quelconque de la courbe P est l'arête de rebroussement de la surface rectifiante de Y*.
Toutes les courbes Pi dont la surface polaire coïncide avec la surface rectifiante de la courbe P sont décrites par le
point
Pi =p + jrBH-jT,
tel que le vecteur ~- est parallèle au vecteur N (^); par suite, les nombres œ, /, fonction de 5, sont soumis aux con-
(') En général, on peut résoudre la question suivante : Quelles sont les courbes F, (^) telles qu'une des droites P,Tj, P,Nj, P,B, est parallèle à une des droites PT, PN, PB? Pour toutes les valeurs de s, on a
(i) T,N=o quand -— ' = «N;
(2) B,N=zo quand ^ = ulf-B - ^T)-
( 3 ) N, T = o quand —j-^ = u{ cos 9 N + sin 9 B ) avec </cp = — ;
( 4 ) Nj B = o quand —~ = ?i ( cos 9 T -i- sin cp N ) avec d(f = ;
(5) N,N = o quand -y-^ = a ( cos 9 B h- sin cp T ) avec rfçp = o;
(6) T,T = o ou bien B,B=o, quand — '=aT;
(7) TjB = o ou bien B,T=o, quand —~ = uB,
u étant une fonction arbitraire de s.
On exprime aisément, pour les courbes (i)-(7), les vecteurs T,, N,, Bj et les nombres p,, t, en fonction des vecteurs T, N, B et des nombres p, t, >^, «, et l'on obtient des propriétés bien importantes.
Parmi les courbes (i)-(7) sont comprises celles qui ont une des surfaces P,N,B„ P,B,T„ P,T,N„ coïncidant avec une des surfaces PNB, PBT, PTN, bu une des surfaces P,T,, P,N„ P,B, coïncidant avec une des surfaces PT, PN, PB. Le lecteur peut, à titre d'exercice, retrouver les déueloppantes, les développées, les courbes de M. Bertrand^ etc.
ditions
djc dy
ds ^ ds
qui donnent
Pi = P-i-rtB-(^-i-c)T,
a et b étant des constantes.
On obtient aisément les courbes (i), étant connues les développantes de P.
Si Qi=:P -f- «iB — (5-1- Ci)T, si w, n sont des nombres et m -t- /i 7^ o, on a
mPi^-/zQi ma-i-nai / me -+- nci
mPi-h nQi
et le point — — décrit une courbe (i).
67. Développées. — Inversement, nous dirons que la courbe Pi est une des développées de la courbe P, si P est une des développantes de Pi; nous allons nous proposer de déterminer toutes les développées d'une courbe donnée P.
Si, à cet effet, K représente un vecteur unité fonction des,
la droite PK ne décrira une surface développable que dans le
cas où
ËiZL)^)=,PTK^=o, ds ds ds
c'est-à-dire quand
pour chaque valeur de s.
Si K vérifie la condition (i) sans être constant, l'arête Pi de rebroussement de la surface PK sera une développée de la courbe P lorsque K sera parallèle au plan PNB (car Ja courbe P doit être une trajectoire orthogonale des génératrices de la
surface PK), et le vecteur -j-, parallèle à la normale princi-
APPLICATIONS. l47
pale au point Pi, sera parallèle au vecteur T (car la tangente en P à la développante est parallèle à la normale principale au point Pi de la développée); nous pourrons donc déterminer le vecteur K, en choisissant un nombre 9 tel que
(2) K = coscpN -[-sincpB,
et que -j- soit un vecteur parallèle à T. Étant donné
... dK cosco™ /i do\ . . ^j ^.
(^) ^=-^TH-(---j(smoN-cos<fB),
9 reste déterminé par l'équation différentielle
(3) rf<f=^, OU
en introduisant une constante arbitraire 90; d'ailleurs l'arête de rebroussement de la surface PK peut se déterminer par
|(PK) = TK-5^Pr,
PK. ^ (PK) = PTK (k + ^^ ?\ ;
donc lorsque le point Pi décrit une] développée de la courbe P, on a
Pi = P4--P— K,
coscp
et, d'après la formule (2),
(4) Pi = P-i-pN4-ptangcpB,
où 9 est précisément le nombre fourni par la formule (3)'. Comme la droite (P-HpN)B engendre la surface polaire de la courbe P, la formule (4) exprime que :
l48 CHAPITRE III.
Les développées de la courbe P sont situées sur la surface polaire de P.
Dans le cas - =o, pour toutes les valeurs de 5, la courbe P
est plane,
Pi= P-+- pN-h ptangcpoB,
et l'une des développées de P est la courbe décrite par le point P -I- pN, c'est-à-dire la courbe enveloppe des normales à la courbe P; les autres développées sont encore des courbes gauches tracées sur le cylindre dont la section droite estpré-
dV cisémentle lieu du point P h- pN; d'autre part, —^ est parallèle au vecteur K et l'angle (-^jBj doit être constant; donc :
Une courbe plane a une seule développée plane et une infinité de développées gauches qui sont des hélices tracées sur le cylindre dont la section droite est précisément cette développée plane.
La formule (3) montre aussi que 6/9 est l'angle de contingence du vecteur B et dans le développement de la surface polaire de la courbe donnée sur un plan, la courbe P, se transforme en une droite. On peut, en général, supposer qu'il existe une valeur s^ de 5, telle que
lim p(^) = o,
d'où :
En développant sur un plan la surface polaire de la courbe considérée, les développées de P se transforment en des droites passant par un point fixe.
Soient d^^, d^^, d^^ les angles de contingence des vecteurs Tj, Ni, B, ; Ti est parallèle au vecteur K, ainsi que Ni au vecteur T, et les formules (2) et (3) donnent
d^i = ± !- ds
^ = ±: tang ( / ^ -f- cpo
APPLICATIONS. I:j9
et
d'i^^ = - ds;
par suite, de -, ^ = — ^> on déduit
«73 = — - ds,
et en observant que ^ =±: -^, il vient:
£'ai chaque point d'une développante de la courbe P, on a
^ et / — doivent être constants en même temps; mais,
— est constant quand, pour toute valeur de s, - = o;
donc :
Les courbes planes ont seules pour développées des courbes planes ou des hélices.
Si Pi est l'arête de rebroussement de la surface polaire de la courbe P, on a {voir n° 59)
ptangcp=-xg,
ou
— = c?logp = — tangcp — =r — tangçc?cp = c?logcoscp;
par conséquent, — ^ est une constante non nulle; donc :
Les courbes dont Vune des développées coïncide avec le lieu du centre des sphères osculatrices ont leurs courbures liées par la relation
if:
ds
p = C COS ( I h (po
ou c jz£o et (^Q figurent des constantes arbitraires.
l5o CHAPITRE III.
De même, on démontre que :
Les courbes planes seules ont une de leurs développées qui coïncide avec le lieu du centre de courbure.
Si le point Pi décrit une des développées de la courbe P, par les formules (2), (2)', (3), on a que le plan rectifiant au point Pi est parallèle au bivecteur |T = NB; donc, étant planPiNB = planPNB [formule (4)] le plan rectifiant au point Pi, on a :
L'arête de rebroussement de la rectifiante de chaque développée de P est le lieu des centres des sphères osculatrices de la courbe P.
Inversement, si le point P, décrit une courbe dont la rectifiante a pour arête de rebroussement l'arête de rebroussement de la surface polaire de P, doit être
(5) P, =P-+-pN-T-xB,
avec Ni parallèle au vecteur T. On trouve aisément (*) que Ni est parallèle à T seul, quand —^ est parallèle au vecteur
cosçNh- sincpB avec do = —;
par conséquent, le nombre a: de la formule (5) est soumis à
la condition
d.T taneç p dp
mais ^ = ptangcp est une intégrale particulière de cette équation différentielle, et, par suite, l'intégrale générale est
/tangcp
OU bien, étant dcpz=z~,
x== ptangcp
COSP
( ' ) Car si N, T = 0, on a T, = cos cp N H- sin o B {'voir la note à la page 1 4^ ) .
On a donc, par la formule (5),
p,.= p + pN
p tangcp
COScp
qui donne toutes les courbes dont les surfaces rectifiantes ont pour arêtes de rebroussement le lieu des centres des sphères osculatrices de la courbe V,
