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ds ~
dl
""dS
ds
l52 CHAPITRE III.
Ces équations différentielles déterminent x et 7 (') avec deux constantes arbitraires et les trajectoires orthogonales des plans tt forment un système doublement indéterminé.
a. En posant I = N, J = B, on peut obtenir les trajectoires orthogonales des plans PNB. Dans l'expression
(3) Pi=P-HM(cosoN-+-sincpB),
on doit déterminer les fonctions u et 9 de 5, de sorte que le vecteur -r-^ soit parallèle au vecteur T; pour cela, égalons à
zéro les coefficients de N et B dans le vecteur —p (ou, en appliquant les formules (2) avec I = N, J = B, ^=:mcos9, ;K== « sincp).
du do . u sin 9
du . do u cos o
-y- sin 9 -H w ^ cos o = o;
d'où l'on tire
du =^ o et <f o = — ;
et l'on voit que le point Pi décrit une trajectoire orthogonale
des plans PNB, lorsque, dans la formule (3), w est une con-
rds stante et 9 = / — •
La droite PP, décrit la développable osculatrice de l'une des développées (n^ 67) de la courbe P et puisque Pi est une trajectoire orthogonale des droites PPi :
Les trajectoires orthogonales des plans normaux à la courbe P sont les développantes des développées de V \ ou bien, sont les courbes qui ont commun avec la courbe V, le lieu des centres des sphères osculatrices [voir note page i43, formule (6)].
(') Voir la note à la page 121.
APPLICATIONS. l53
b. On peut encore obtenir les trajectoires orthogonales des plans PBT, en posant 1 = B, J = T : les équations (2) donnent
dx dr
ou
avec les deux constantes arbitraires a et c; par suite
Pi==p(^ + c)T-f-rtB,
et, avec les développantes de P, on obtient aisément les courbes décrites par les points Pi {voir n° 66).
c. Pour obtenir les trajectoires orthogonales des plans osculateurs de la courbe P, il suffirait de poser I ^ T, J =N; les courbes P^ sont alors telles que le lieu des centres de leurs sphères osculatrices soit la courbe P, et les formules (2) donnent encore
dx y dy X
ds ~~ p ' ds ~ p'
équations différentielles qui permettent toujours d'avoir les expressions de ce et de j, par exemple, en séries convergentes (^).
