AB-:A(B-A
on aura
AB-h«r=(A-+-K)(B — A);
ce qui démontre le théorème. La translation K n'est point déterminée; mais, en revanche, la droite sur laquelle est situé le segment AB -+- u est complètement déterminée.
Si X est un point de la droite qui joint A et B (c'est-à-dire est un point tel que ABX = o), et si Y est un point de la droite de AB 4- w, la translation K = Y — X est telle que
ABh-m = (Ah-K)(B-4-K).
c. La somme de deux bivecteurs est un bivecteur. En effet si Uy V sont des bivecteurs, il existe toujours un vecteur I parallèle aux deux bivecteurs w, v. En conséquence, on peut déterminer deux vecteurs J, K, tels que w=:IJ, (^ = IK; mais alors a 4- ^^ = I (J 4- K), ce qui démontre le théorème.
d. On démontre très aisément que la condition de parallélisme de deux bivecteurs non nuls u, v est que u soit un multiple de v.
Si Uy V sont des bivecteurs non nuls et parallèles, avec le
signe -9 nous indiquerons encore le nombre »r, tel que
p = XU.
Convenons aussi de - m o.
e. Un bivecteur est toujours réductible à la somme de trois
segments qui sont les côtés d'un triangle; car si u est un bivecteur, on a bien
« = (B-A)(C -A) = BC-i-GA-f-AB.
f. Un bivecteur est toujours réductible à la somme de deux segments parallèles qui ont le même module et non le même sens. Si w rr: (B — A)(C — A), alors
M = AB-hC(A — B)=A(B — A)-i-G(A— B),
ce qui démontre la propriété énoncée.
Par analogie, si un segment représente une force appliquée à un corps rigide, un bivecteur pourra représenter un couple.
13. Trivecteurs. — On appelle trivecteur, le produit de trois vecteurs.
Si I, J, K sont des vecteurs et P un point; en vertu de régalité PIJK = P(P -hI)(P -+-J)(P -hK), on voit que PIJK est le tétraèdre, dont les sommets sont les points P, P -{- I, P-hJ, P-i-K. Si Q est un point, on a toujours PIJK=: QIJK, c'est-à-dire que le nombre PIJK n'est pas une fonction de P, mais seulement, du trivecteur IJK et nous appellerons sens du trivecteur IJK le sens du tétraèdre PIJK.
Soient a un trivecteur, I et J deux vecteurs non nuls et tels que IJ =2^0; les vecteurs K, tels que «= IJK, sont toujours déterminés; la détermination de K dépend du problème de Géométrie élémentaire suivant : Transformer un tétraèdre en un autre tétraèdre équivalent,
La somme du triangle non nul ABC avec le triangle a est un triangle que l'on déduit de ABC par une translation. Soit, en effet, K un vecteur, tel que
K(B — A)(C-A) = a; alors on aura
ABC -h a = A(B — A) (G — A) h- K(B - A) (C — A)
= (Ah-K)(B-A)(C-A),
qui démontre le théorème. La translation K n'est point déter- B.-F. 2
l8 CHAPITRE I.
minée; mais, en revanche, le plan sur lequel est situé le
triangle ABC H- ol est complètement déterminé.
PB Si a, (3 sont deux trivecteurs, tels que a^o, le nombre p^
est indépendant du point P. Nous poserons donc, quel que
soit le point P, ^ = J-, et il est clair que - est précisément
le nombre x^ tel que p =. .ra. Ainsi donc, si a est un tri vecteur non nul, le trivecteur p, quel qu'il soit, est un multiple de a. Il en résulte encore que la somme de deux trivecteurs est un trivecteur.
On peut toujours représenter, à Texception du sens, le trivecteur IJK par les trois vecteurs I, J, K de même origine et le parallélépipède, dont quatre sommets sont précisément les points 0, -h I, H- J, H- K. Le volume de ce parallélépipède, d'ailleurs affecté d'un signe (le signe du nombre OIJK), est appelé grandeur de IJK (grIJK); ce qui revient à poser, quel que soit le point 0, grIJK=:60IJK. Nous pouvons alors supprimer, sans ambiguïté possible, le signe gr et donner au signe IJK la double signification de trivecteur et de nombre.
Nous appelons trivecteur unité et l'indiquons toujours avec la lettre co un trivecteur tel que, quel que soit le point 0, le nombre Oco = i. Si co est considéré comme un nombre, w=: 6.
14. Rotation. — Nous allons maintenant considérer un plan dont trois points A, B, C, tels que ABC^o, soient fixés.
Soient 0, 0' deux points quelconques du plan ABC : on peut toujours déterminer trois points P, Q, R du plan ABC, tels que les points 0, 0' soient intérieurs au triangle dont
les sommets sont P, Q,R, et tels, en outre, que ~^ soit un
nombre positif.
Soit alors a une droite du plan donné, qui passe par le point 0, et a' une droite du même plan qui passe par le point 0'; les droites a, a' rencontrent respectivement le périmètre du triangle PQR en deux points. M, N et M', N'. Si
nous faisons parcourir au point M le périmètre du triangle PQR, dans le sens, par exemple, P, Q, R {voir n° 5, p. 7), le point N parcourt simultanément le périmètre du triangle dans le même sens, et la droite a ainsi que chacun de ses points tournent^ sur le plan, autour du point 0. Nous dirons que les droites a, a! (ou chaque point de ces droites) tournent, respectivement, autour des points et 0' dans le même sens, quand les points M, M' (ou N, N') parcourent le périmètre du triangle PQR dans le même sens.
Soit P,QiRi un autre triangle dij plan ARC qui jouisse des mêmes propriétés que le triangle PQR ; si Mj, Ni, par exemple, sont les points de rencontre de la droite a avec le périmètre du triangle PiQjRj, et si le point M parcourt le périmètre du triangle PQR dans le sens P, Q, R, le point Mi parcourra le périmètre du triangle PiQi Ri dans le sens Pi, Qi, Ri. Donc, le sens de la rotation d'une droite (ou d'un point) autour d'un point fixe du plan ABC est un élément géométrique abstrait qui est fonction du triangle ABC fixé dans le plan.
Nous pouvons fixer le sens positif ou le sens négatif de la rotation sur le plan ABC en disant que la droite a tourne autour du point dans le sens positif {ou négatif) quand le point M. parcourt le périmètre du triangle PQR dans le sens P, Q, R (oM P, R, Q). Supposons maintenant qu'un observateur soit placé sur la région des points S tels que SABG corresponde à un nombre négatif; alors, si la droite a tourne dans le sens positif, l'observateur la verra tourner dans le sens inverse des aiguilles d'une horloge dont il regarderait le cadran.
14 bis. Soient I un vecteur non nul du plan ABC et <p un nombre différent de zéro : nous dirons que J est égal au vecteur I tourné de l'angle <p lorsque : i* J est un vecteur; 20 modJ =: modl; 3<> quel que soit le point du plan ABC, la droite 01 peut aller coïncider avec la droite OJ en tournant dans le sens positif ou négatif, selon que 9 est positif ou négatif, le chemin parcouru par le point H- 1 ayant pour mesure la valeur absolue du nombre 9 modl.
Soit encore que I est égal au vecteur I tourné d'un angle
20r CHAPITRE I.
nuly et que un vecteur nul est égal au même vecteur tourné d'un angle quelconque cp.
Soient I, J deux vecteurs non nuls du plan AB tels que modI = modJ; il existe une infinité de nombres réels <p tels que J soit égal au vecteur I tourné de l'angle 9. Parmi ces nombres, ceux qui sont positifs ont un minimum 91 et ceux qui sont négatifs ont un maximum 92. On a toujours 91 — 92 = 2 tt, et chaque nombre 9 est de la forme 91+ 2/171, 92-}- 2/171, oùn est un nombre entier quelconque, positif, négatif ou nul.
Nous appelons angle d^ I avec J et nous l'indiquons par la notation (I, J) le plus petit des nombres positifs ou nuls cp tels que J soit égal au vecteur I tourné de l'angle 9. Il faut observer que, dans la notation (I, J), le sens positif de la rotation sur le plan ABC est sous-entendu, c'est-à-dire que le nombre (I, J) n'est pas seulement fonction des vecteurs I et J, mais aussi du sens positif choisi pour la rotation sur le plan.
Si (I, J)=:i, nous appellerons radiant Tangle (I, J); si
(1,1) = -, Tangle (I, J) sera dit angle droit et nous dirons
encore que le vecteur I est perpendiculaire au vecteur J, ou
réciproquement, dans les cas de (I, J) = ^ et (I, J) = — •
Si U, V sont vecteurs non nuls du plan ABC, appelons angle de U avec V et indiquons, avec la notation (U, V),
Tangle du vecteur -^^^ avec le vecteur j^^-^yj ce qui revient
à poser
(^'^^=(iïSdû^S5dv)'
On a et si
on aura
modU modV
(U,V)-l-(V,U) = 2Tr.
