Soient I, J, K, U des vecteurs non nuls

a'. Si X est un nombre réel non nul, x\ sera un vecteur parallèle à I, de même sens que I ou de sens contraire, selon que X est positif ou négatif: le module de ^I est égal au module de I, multiplié par la valeur absolue de x. En effet, si I = B — A, le point C tel que a? AB = AC est complètement

déterminé; il n'y a plus qu'à imiter la démonstration du théorème du n^ 8 pour voir que a:{B — A) — C — A, ce qui démontre le théorème.

a". Si I est parallèle à J, il n'existe qu'un seul nombre réel a?, tel que J = xl. En effet, étant un point quelconque, 01, OJ sont deux segments d'une même droite et le nombre ^ tel que OJ = ^OI, ou tel que OJ — 0(a?I) est déterminé; il en résulte bien J=:a7l. Soit x' un autre nombre tel que J = a7'I, on aura o = {x — ^')I, d'où a? = a?', ce qui prouve que le nombre x est bien indépendant du point choisi 0.

a. La condition de parallélisme de I et de J est donc que J soit un multiple de I.

On peut exprimer la même chose avec la relation IJmo. En effet, si I est parallèle à J et si est un point quelconque, les points 0, 4- 1. -f- J sont sur une même droite, soit

0(0-i-I)(0-f-J) = OIJ = o,

c'est-à-dire IJ =. o. Inversement, si IJ = o, alors

0(0-+-I)(0-hJ) = o,

c'est-à-dire que les points 0, 0-i-I, 0-hJ sont sur une même droite ou encore que les vecteurs I, J sont parallèles.

Si I, J sont des vecteurs parallèles, le signe | nous indiquera toujours de même le nombre a: tel que 1 = ^1, et nous conviendrons, en outre, du symbole -j =: o.

b'. Disons que le vecteur I est parallèle au plan a ou le plan a parallèle au vecteur I, lorsqu'il existe, sur a, deux points A, B, tels que I soit parallèle à B — A; que les vecteurs I, J, K, . . . sont complanaires, quand I, J, K, . . . sont parallèles à un même plan.

Si I, J, K sont complanaires et IJ 7= o, alors les nombres ^, J, tels que K=^xl-\- y5 sont déterminés. En efifet, si O est un point, les points 0, -h I, -h J, -h K sont sur un même plan parallèle aux vecteurs 1, J, K. Si la parallèle menée

LES FORMES GÉOMÉTRIQUES. l3

à la droite 01 par le point -h K rencontre la droite OJ au point A, on aura K = (A— 0)-h[(0 -hK) — A]; mais A — et (0 -h K) — A sont des vecteurs parallèles aux vecteurs I, J et la proposition a montre qu'on peut déterminer Jes nombres Xy y, tels que K =: a?! -h y J. Les nombres œ^ y ne sont pas fonction de ; en effet, si x', y étaient d'autres nombres, tels que K — x'\ -i- y J, on devrait avoir

{x — x')\-^ {y —f)} = o et {x — x')U = {y -- y')lS =o;

et de IJ^^o résulte immédiatement que Ton doit avoir

X = x' et y=-y'*

V. Si Xy y sont des nombres et si K=:^I -+-/J, les vecteurs I, J, K sont complanaires. Soit un point, on a

0(0 -f- 1)(0 -i- J)(0 -f- K) = OUK,

et, en remplaçant K par x\ -f- yi,

ce qui démontre le théorème.

b. La condition de complanarité des trois vecteurs I, J, K est donc : K est la somme d'un multiple de I et d'un multiple de J, ou K est une fonction linéaire de \ et de J; ce que Ton peut exprimer de même par la condition IJK = o.

c. Si IJK ^ o, les nombres réels x, j, z, tels que

U = a7lH-jrJ-î-3K

seront déterminés. Il suffît d'imiter la démonstration de la proposition (b')-

Les vecteurs x\, jj, ;sK sont appelés composants de U relativement aux vecteurs I, J, K; les nombres Xy y, z sont appelés coordonnés de U relativement aux vecteurs I, J, K.

d. On a toujours IJKU = o, c'est-à-dire que le produit de quatre vecteurs est toujours nul. En effet, si IJK= o, on a bien IJKU = o; si, IJK^o, alors \i = xl-\-yi -^zlL et, par suite, IJKU = o.

l4 CHAPITRE I.

11. Bivecteurs. — On appelle biçecteur, le produit de deux vecteurs. Si I, J sont des vecteurs, IJ est un bivecteur. On a IJ =: o, quand un des vecteurs I ou J est nul, ou bien encore si I est parallèle à J, et réciproquement.

Théorème I. — Pour que les bivecteurs IJ, KU soient égauœ, il faut et il suffit que, quel que soit le point 0, les triangles OU, OKU soient égaux.

Dém. — En vertu de la définition de l'égalité de deux formes du deuxième ordre, la condition IJ = KU équivaut, quels que soient les points P et 0, à POIJ=:POKU; cette égalité, d'après la définition d'égalité de deux formes du troisième ordre, équivaut, quel que soit 0, à OU = OKU; observant que OUr=0(0 h-I)(Oh- J), il en résulte que OU est un triangle.

Théorème II. — Si I, J sont des vecteurs, quels que soient les points^, Q, les triangles PU, QIJ seront parallèles et auront même sens et même module,

Dém. — On démontre ce théorème en observant que

Q-P = (0-1-1)- (P-Hl) = (Q-i-J)~(P-+-J).

Remarques. — Nous disons que les bivecteurs non nuls IJ, KU sont parallèles ou complanaires, lorsque, quel que soit le point 0, les triangles OU, OKU sont sur un même plan. Appelons orientation du bivecteur IJ, un élément géométrique abstrait, fonction de IJ et que IJ a en commun avec tous les bivecteurs parallèles à IJ. Il en résulte que des bivecteurs égaux ont la même orientation.

Si les bivecteurs non nuls IJ, KU sont parallèles, nous dirons qu'ils ont ou n'ont pas le même sens, suivant que les triangles OU, OKU ont ou n'ont pas le même sens, quel que soit le point 0. Le sens d'un bivecteur non nul IJ est donc un élément géométrique abstrait qui possède IJ en commun avec d'autres bivecteurs parallèles à IJ. Des bivecteurs égaux ont le même sens.

Si IJ est un bivecteur, posons, quel que soit le point 0,

LES FORMES GÉOMÉTRIQUES. f5

modIJ = 2modOIJ. Le module d'un bivecleur IJ est donc le nombre positif ou nul qui mesure Taire du parallélogramme, dont trois sommets sont les points 0, -h I, 4- J. Il en résulte encore que des bwecteurs égaux ont le même module.

Le théorème I et les définitions que nous venons d'énoncer entraînent également que pour que deux bivecteurs soient égaux y il faut et il suffit qu^ils aient même orientation^ m,ême sens et même module. Ainsi donc, un bivecleur est un élément géométrique abstrait fonction de son orientation, de son sens et de sa grandeur.

Graphiquement, en excluant son sens, on représentera le bivecteur (B— A)(C — A) par le parallélogramme, dont trois sommets sont les points A, B, G et dont les deux vecteurs B — A, G — A forment les côtés. Si A, B, G, D sont des points d'un plan a, on obtient un point E du plan a, tel que

en construisant le parallélogramme qui représente

(D-A)(E-A), équivalant au parallélogramme représentatif de

en sorte que les triangles ABG, ADE aient le même sens. La transformation d'un bivecteur en un autre qui lui soit égal est ainsi réduite au problème de Géométrie élémentaire qui consiste à transformer un parallélogramme en un autre équivalent. Par conséquent, l'égalité

I(J-4-K) = IJ-i-IK exprime le théorème de Varignon.

12. a. Le produit d'un point par un bivecteur est un triangle {voir dém, du théorème I, n*" 11). Réciproquement, chaque triangle est le produit d'un point par un bivecteur, puisque ABG=: A(B - A)(G — A).

b. Disons que le bivecteur non nul IJ est parallèle au

l6 CHAPITRE I.

vecteur non nul K (ou K est parallèle à IJ), quand les trois vecteurs I, J, K sont complanaires; c'est-à-dire lorsque

IJK = o.

La somme du segment non nul AB avec le bivectcur u parallèle à B— A est un segment que l'on déduit de AB par une translation. Soit, en effet, K un vecteur, tel que

alors, en vertu de