Si I est un vecteur non nul du plan, indiquons par il

le vecteur I tourné de Fangle droit positif -; posons aussi

io = G. Soient alors 1 et J deux vecteurs quelconques du plan et x un nombre \ éel; au lieu des notations

i{x\), x(il), (n)-hJ, I(ïJ),

qui ont actuellement une signification précise, nous emploierons simplement

a. Si I = J, alors il = « J.

b. Si n est un nombre entier positif non nul, posons l'^l^il, *»I=:i(f«-iI), en d'autres termes, indiquons par £"^1 le vecteur que Ton déduit de I en lui appliquant n fois Topération i. On a ainsi

in= — l, 7*31=— il, j*l = l, iH = îl,

ce qui montre que le signe i"^ a les mêmes propriétés que le symbole (v/— i)'*.

G. On peut aisément démontrer les formules

ixl = xily i(l -+- J) = il -\- /J,

(n)(iJ) = IJ, lU = ii\,

Iï( J -H K) = If J H- h*K, (I, J) = (il, i J).

La première exprime que Ton peut changer Tordre des deux opérations suivantes : multiplier par un nombre et faire tourner d'un angle droit. La deuxième nous montre que l'opération i a la propriété distributive par rapport à la somme.

d. La condition d'orthogonalité des deux vecteurs I, J non nuls est IiJ = o.

16. Soit I un vecteur unité du plan : le module du bivecteur \i\ est i, et quel que soit le vecteur unité J, on a

JïJ=zIfI, ce qui nous conduit à appeler lii le bivecteur unité du plan.

a. Si u est un bivecteur du plan [^voir n* 12 (d)], ^^ représente le nombre x tel que u =ixlil. Ce nombre x est, bien entendu, positif ou négatif selon que les bivecleurs u et Iil ont ou n'ont pas le même sens, et sa valeur absolue est mod m. Nous conviendrons d'indiquer par le signe w, comme nous

l'avons déjà fait pour les trivecteurs, le nombre p|> c'està-dire que nous donnons au signe u la double signification de bivecteur et de nombre. Si le nombre u est positif et que le triangle Ou soit égal au triangle OAB, l'observateur parcourant le triangle de en A et B verra l'aire du triangle à sa gauche.

b. Si U, V sont des vecteurs non nuls et que l'on suppose connue la théorie des fonctions circulaires, on démontre fort aisément les formules

U V = modU mod V 8in(U, V), Ui V= modU modV cos(U, V),

d'où l'on déduit

sin(U, V) = — TïT^^— TTT, cos(U, V) = ^.'^ ,,. >

^ ' ^ mod U mod V v > / ^^^ ^ y^^^^^ y

UV

tang(U,V)= ""^

UiV G. Quel que soit le vecteur U, on a donc

U/U = (modU)2;

en convenant d'écrire U* au lieu de U«U, on aura

U2= (modU)2, (U-4-V)2 = U2-+-2UiV-hV2

et

(U-hV)i(U — V) = U2-Vî.

d. Si U, V sont des vecteurs, le nombre UtV s'appelle

produit interne de U par V (*); ce produit interne jouit des propriétés commutative et distributive par rapport à la somme. Si modU= mod V= i, alors UtV est le cosinus de Tangle (U, V). Si modU=: i, UtV donnera la grandeur et le sens du vecteur projection orthogonale du vecteur V sur U; c'est-à-dire que le vecteur ([J/V)U est la projection orthogonale du vecteur V sur le vecteur U.

Exemples. — i«' Si Ai, Aj, . . ., A^^ sont des points et que I soit un vecteur unité du plan, l'identité

Ii(Ai — Ai)-4-Ii(A3 — A2)-H...-+-Ii(A,i — A;,i) = Ii(A« — Al)

montre que la somme {algébrique) des projections des côtes d'une ligne brisée sur une droite est égale à la projection sur cette même droite de la droite limitée qui joint les extrémités de la ligne brisée (d).

2« Si 1, J sont des vecteurs non nuls et de même module, l'identité (I -i- J)i(I— J) = P — J* = o, exprime que to 6«sectrices de deux angles adjacents sont rectangulaires.

3* Soient A, B, G les sommets d'un triangle du plan;

posons

on a

De la formule (i), on déduit

(3) l2 = j2-f-K2 — 2(-J)iK,

(4) I> = - J/I - KH = (- \)i} H- (- K) il.

Divisant respectivement les équations (2) et (4) par

( ' ) Le lecteur doit fixer son attention sur l'importance du produit interne. Le produit interne, introduit par Grassmann comme une opération abstraite, est réduit ici au produit progressif de deux vecteurs au moyen de Topération i.

mod I . mod J . mod K el par mod I, il vient

8in(^J. K) ^ 8in( — K,I) sia( — I,J) modl modJ "" modK '

(modI)* = (modJ)2-t-(modK)« — 2modJmodKcos( — J,K), modl = mod J cos( — I, J) -h modK cos(— K, I),

qui sont Jes formules mêmes de la Trigonométrie plane, connues généralement sous la forme

sinA sinB sinC a ~ ~b~ ~ ~^'

à> — b^-{-c^ — 2bccosA, « = 6cosC-HccosB.

17. Si œ, y sont des nombres réels et que I soit un vecteur du plan, posons

on a

[(jC-|-t>)f]2 = (x2+j2)(modI)2

et, par suite,

mod \{x -+- ly)\\ — sJx'^-\-y^,

Si I 7^0 et que les nombres x^y ne soient pas nuls ensemble, étant donné que

I[(^-^'»I]=j(naodI)2, I/[(^-H/r)I] = x(modI)«,

on aura

tang[I,(a7 4-/j)I] = -^.

Ainsi donc, multiplier le vecteur I par le nombre complexe X H- iy signifie multiplier I par le module du nombre complexe, et faire tourner le vecteur ainsi obtenu d*un angle égal à l'argument du nombre complexe.

Si nous écrivons le nombre complexe x + iy sous la forme