X -\- ij = p(costp -h «siacp) ou sous la forme

jc -H /J = p e'Ç,

on voit que coscp -+- «sincp, ou e'?, est le signe de l'opération

qui, appliquée à un vecteur, le fait tourner d*un angle <p, c'est-à-dire que, quel que soit le nombre 9, (cosç -+- 1 cosç)! ou, plus simplement, e'*Pl, représente le vecteur I tourné de Tangle 9.

Exemples, — Soit un point, et I un vecteur unité du plan.

I" Si ccy y sont des nombres et que Pz=: H- (a7H-iy)I, Xy y seront les coordonnées cartésiennes rectangulaires du point P, en prenant le point pour origine et les droites 01, 0(/I) comme axes.

2'» Si p, 9 sont des nombres et que P = -i- pe'?I, p, <p sont les coordonnées polaires du point P, étant le pôle et la droite 01 Taxe polaire choisis.

3« Le point P = + re'?!, lorsque 9 varie de à 271, décrit la circonférence de centre et de rayon r,

4*" Le point P=0 4-^96'?! décrit une spirale d*Archimède.

5* Soit le centre commun à deux circonférences, Tune de rayon a, Tautre de rayon b{a> b) : un rayon de la première, qui fait Tangle 9 avec I, rencontre la première en M et la deuxième en N; les parallèles aux vecteurs I, il menées par les points N, M se rencontrent en un point P ; lorsque 9 varie de o à 27:, le point P décrit une ellipse dont le centre est en et dont les demi-diamètres sont respectivement a et b.

On voit aisément que

P = -4- acoscpl -+- ib sinçl.

Si nous nous souvenons que

e^<P = cos<p -h i sinçp, e-'? = cos<p — / sincp,

nous avons alors

En général, le point P = -h/ie'?! + A:e-'?I, avec la variation de 9, décrit une ellipse dont les demi-diamètres sont A -h Â: et A — Â:.

6® Si un cercle de rayon r roule sans glisser sur la droite m, le lieu des positions successives que vient occuper un point de la circonférence est une cycloïde.

Soient 0, M deux points de m tels que modOM< iizr et soit en outre C {fig* t) le centre du cercle du rayon r tan-

Fig. I.

PCTl)

gent en M à m. Si est une position du point que décrit la cycloïde, un point P tel que arcMP = modOM du cercle de centre G est un point de la cycloïde.

Soit donc 9 = ( P — C, M — C ) ; alors mod OM = /' 9 j considérons le vecteur unité I parallèle et du même sens que le vecteur M — 0. Nous aurons

P~0 = (M-0)H-(G— M)H-(P — C), M — = rcpl, C-M = rn, P C == — re-'Çtl;

donc

P = H- rcpI-4- ril — re-»?îl:

et le point P décrit la cycloïde lorsque 9 varie de — 00 à -h 00.

7^ Le point

p = -I- ae''»?I -\- 6e''»? I,

lorsque <p varie de — oo à -!-oo décrit une épicycloïde : le rayon du cercle fixe est a ^"~^ (ou 6 — ^^^ j; le rayon du cercle

mobile est a— ( ou b — j; et la distance du point P au centre du cercle mobile est b (ou a).

18. Opération index.— Soient U un vecteur non nul, u un bivecteur non nul, et un point; si la droite OU est perpendiculaire au plan Om, alors la droite PU est perpendiculaire au plan Vu, et cela quel que soit le point P. Nous exprimerons cette propriété en disant que le vecteur U est perpendiculaire au bivecteur u, ou u perpendiculaire à U. Nous donnerons- la même signification aux phrases le bivecteur u est perpendiculaire au bivecteur v, le vecteur U est perpendiculaire au vecteur V.

Si u est un bivecteur non nul, nous indiquerons par le signe I u un vecteur tel que : i*» | « est perpendiculaire' au bivecteur u; 2« mod{\u) = modu; 3° Je trivecteur u{\u)a le sens direct. Le vecteur | u est ainsi bien déterminé, et on rappelle index de u.

Nous convenons de donner à la relation

U = |w la forme réciproque

afin de pouvoir appeler u Vindex de U. En conséquence, l'opération dont le signe est |, et qu'on appelle opération index, appliquée à un bivecteur non nul, produit un vecteur, et appliquée à un vecteur non nul produit un bivecteur.

En posant aussi

cette convention achève de définir Topération index , qui subsiste alors pour tous les vecteurs et bivecteurs.

Si, par exemple, m, v sont deux bivecteurs, U un vecteur et X un nombre, au lieu des signes

|(l«), (l«)-+-U, oc{\u\ \i,XU), W(|P),

qui ont une signification actuellement, nous écrirons plus simplement

a. Si u, ç, w sont des bivecleurs ou des vecteurs, et si a: est un nombre réel, nous avons les formules

(2) \xu = a:\u,

Si U==|m, alors M=r|U et, par conséquent, m:=:||m, ce qui démontre la formule (i); les formules (2), (3) se démontrent aussi aisément.

Voici la démonstration de la formule (4) qui fournit, par rapport à la somme, la propriété distributive de Topération index. Soient m, (^ des bivecteurs; si Tun d*eux est nul, la formule (4) est évidente; supposons donc que u et ç^ sont des bivecteurs non nuls. On peut alors déterminer les vecteurs I, J, K, tels que I soit perpendiculaire à J et à K, et tels

que

modI=i, M = IJ, p = IK;

en observant que m h- (^ = 1(1 -î-K), on voit que | m, 1 f^, |(m -h ^) sont les vecteurs J, K, J 4- K, qui ont reçu autour d'un point quelconque 0, sur le plan OJK, une rotation d'un angle droit dans le même sens. La formule (4) est donc démontrée quand u, v sont des bivecteurs. Dans le cas où u et V sont des vecteurs, on déduit la formule (4) pour les vecteurs des formules (i) et (4).

La formule (5) n'est qu'une conséquence de la formule (4) et de la propriété distributive du produit par rapport à la somme.

b. On a

«1 w = (moda)*.

LES FORMES GÉOlttÉTRIQUES. 29

En écrivant u^ au lieu de u\u, il vient

m' = (modw)'-*, (u -1- p)2 = u^ -{- 2u\i>-\- p2, (m H- p) I (« — p) = w2 (,2,

c. La condition de perpendicularité de u avec v est

d. Soient U, V des vecteurs non nuls. Si sur un plan parallèle à U et V nous fixons le sens de la rotation positive et que nous représentions par 9 l'angle de U avec V, on voit aisément que le nombre U | V est égal au produit de mod U mod V, par C0S9 ou par — coscp. Nous ne pouvons pas appeler 9 ou TT — <p Tangle de deux vecteurs U, V, car 9 est fonction non seulement de U, V, mais aussi du sens de la rotation positive sur un plan, et nous ne saurions établir une relation entre les directions des rotations positives sur deux plans quelconques.

Pour introduire alors par son cosinus Tangle U, V de deux vecteurs quelconques de Tespace, cet angle étant considéré comme fonction seulement de U et de V, nous poserons

U 1 V = modU mod V cos(U, V),

ou bien encore

(i) cos(U,V)= ^

modU

modV

et nous définissons (U, V) en disant que c'est le plus petit nombre positif ou nul qui vérifie Téquation (i). On en déduit notamment que (U, V) peut varier de o à tt, par suite, sin(U, V) est un nombre toujours positif et Ton a

mod(UV) = modU mod V 8in(U, V).

Il n'y a pas de contradiction parmi les résultats que nous venons d'obtenir et ceux que nous avons obtenus dans le n<» 16, car dans ce dernier cas (U, V) n'est pas seulement fonction de U et de V.

e. On appelle U | V le produit interne de U par V et cette

3o CHAPITRE I.

opération a des propriétés analogues à l'opération désignée déjà par produit interne sur un plan.

Exemples, — i^"^ Si A, B, G, D sont des points quelconques, on a toujours

Pour démontrer cette formule, il suffit de réduire les vecteurs A— B, B — C, G — A à la différence de deux vecteurs ayant même origine D [par exemple, A— B= (A — D) — (B — D)]; développant alors les produits internes, on trouve que le premier nombre est identique à zéro. L'identité que nous venons d'énoncer peut s'interpréter géométriquement de la manière suivante : Si dans le tétraèdre dont les sommets sont les points A, B, G, D, les arêtes opposées AB et GD, BG et AD sont respectivement perpendiculaires deux à deux, les deux dernières arêtes AG et BD sont aussi rectangulaires; ou bien encore ; les trois hauteurs d'un triangle ont un point commun,

2® Si A, B, C sont les sommets d'un triangle et I un vecteur on a

Donc, si deux des vecteurs B — G, G — A, A — B sont perpendiculaires au vecteur I, le troisième est aussi perpendiculaire à I, ce qui exprime un théorème déjà connu de Géométrie élémentaire.

3® Soient I, J, K des vecteurs unité; posons

et décomposons J en deux vecteurs J' et J", K en deux vecteurs K' et K", les deux premiers (J' et K') étant perpendiculaires et les deuxièmes (J'' et K") parallèles à I ; avec a -= (J', K') on trouve aisément

J' I K' = sin6 sine cosa, J" | K" = cos^cosc,

mais

cos« = J 1 K = ( J'-h J") I (K' -H Yi") = J' I r + J" I K";

LES FORMES GÉOMÉTRIQUES. 3l

donc

cosa = cos^cosc-i-sin6sinccosa

qui n'est autre que la formule fondamentale de la Trigono métrie sphérique (*).