RÉDUCTION DES FORMES

19. Formes du premier ordre. — On appelle masse de la forme du premier ordre

S = J?iAi H- X2A2 H-. . .H- Xfi^n

le nombre ^1 4- ^2 H- • • -i- ^n-

a. La masse de la forme du premier ordre S est le nombre Sw. En effet

Aïo) = A2W =. . .= ArtO) = 1 et So) = J?i + ^^2 -+-• • •-+-'^rt.

b. Si une forme du premier ordre a une masse nulle, cette forme est réductible à un vecteur, et réciproquement.

Nous avons, étant un point quelconque,

S = (.ri 4-^2 -+-• • •-l-^«)0

-h^i(Ai — 0)4-x2(A2 — 0)4-.. .4-Xrt(Art — 0);

et, si nous posons

I = a7i(Ai — 0)-l-^'(A2 — 0)4-. ,.-+-x„(Art— 0),

il vient

S = (Sw)0 4-I.

Si S û) = o, alors S =: I ; mais I est un vecteur ; par conséquent S est bien réductible à un vecteur. Réciproquement, si S est un vecteur tel que S = B — A, on a

Sw = Ba) — Aa) = i — i = o.

(*) E. Cary ALLO, Sur une généralisation du théorème des projections {Nouvelles Annales de Mathématiques, t. IX; 1891).

c. Si une forme du premier ordre n'est pas à masse nulle, cette forme est réductible au produit de sa masse par un point. En effet, si Sw ^z^ o, on a

S = (S<o)(o+gLi).

Si Sci) ^ o, le point ^— est appelé barycentre de la forme

g S; en Mécanique ^— est le centre de gravité des points pesants Al, As, . . ., A„, qui ont, respectivement, les masses

d. Si A, B sont deux points, et x^ y deux nombres non

nuls, et que, de plus, x-\-y^o, le point = =^— est

situé sur la droite AB et décompose le segment AB en deux parties inversement proportionnelles aux nombres ^, y. En eff'et, multipliant les deux membres de Tégalité

otAh-jB = (xH-7)G

par AB, on a ABC = o, c'est-à-dire que les points A, B, C, sont situés sur une même droite; multipliant la même égalité

AG r par C, on a xkC H-yBG -h o, c'est-à-dire que ^ = -^^ ce qui

démontre la dernière partie du théorème.

On en déduit fort aisément la construction graphique du

J7A —H y"B point ■ — et, par conséquent, la construction du bary-

centre d'une forme quelconque de premier ordre.

Exemples. — Soient A, B, C, ... des points.

A-^ B i*^ Le point est le milieu du segment AB.

2« Si ABC^o, T. est le point par lequel passent

les trois médianes du triangle ABC; on démontre cette pro-

prîété en observant que 5 est le barycentre des points

> G auxquels sont affectées les masses 2,1.

3« L'identité

B-uC D-hA Ah-C B-+-D

montre que les droites qui joignent les milieux des côtés opposés et des diagonales d'un quadrilatère ont un point commun qui est précisément le barycentre du quadrilatère.

4® Les droites AD^ BC se coupant au point E et les droites AB, CD au point F, si Ton observe que

EAD = EBG = FBA = FCD = o, on peut écrire

= ABE 4- ADF -f- CBF -\- CDE = (CDE — BAE) - (DAF - CBF) ;

et les deux formes entre parenthèses nous donnent Taire du quadrilatère (plan) dont les sommets sont A, B, C, D; par

conséquent

c'est-à-dire les milieux des diagonales d*un quadrilatère complet sont sur une même droite.

5« Le point {fig- 2) est le centre commun à deux circonférences; par un point P, par exemple, de la circonférence interne, on mène les cordes rectangulaires PA et PBC que Ton fait ensuite tourner autour du point fixe P : i** démontrer que le barycentre du triangle ABC est fixe; 2<» démontrer que la somme des carrés des distances du point P aux points A, B.-F. 3

B, C est constante; 3<» trouver les lieux décrits par les milieux des côtés du triangle (*).

Si P'= 4- (0 — P), le trapèze dont les sommets sont A,

Fig. 2.

B, C, F' est isoscèle et Ton voit facilement que

Cette relation (i) est d'ailleurs identique à la relation

qui démontre la première partie»

Les carrés (produits internes) des deux membres de Tégalité (i) donnent

car

Mais si r, R sont les rayons des deux circonférences, on a

( * ) Composition de mathématique à l'École spéciale militaire de Saint-Cyr, Concours de iSgS.

et, par suite,

ce qui démontre la deuxième partie.

Posons enfin

Si nous mettons la relation (i) sous la forme

Ah-(B — P)-4-C = 20 ou bien sous la forme

il en résulte que

donc mod(D — K) =r. ~r est constant, D décrit un cercle de

centre K et de rayon -• On trouverait de même que les

points E, F sont toujours sur le cercle de centre K et de

R rayon -•

20. Formes du deuxième ordre. — Chaque segment est réductible à la forme AI où A est un point et I un vecteur, car AB 1= A(B — A); et Ton peut faire de même pour le produit d'un segment par un nombre, car a?(AI) = A(^I). Une forme s du deuxième ordre (qui est la somme d'un nombre fini de segments) e6t donc réductible à la forme générale

(i) j = AiIi-f-Ajl2-4-...-f- ArtTrt,

où Al, Aj, . . ., Art sont des points et Ii, Ij, . . ., !« des vecteurs.

a. Appelons vecteur du se ff ment AI le vecteur I; appelons

vecteur d'une forme du deuxième ordre la somme des vecteurs des segments dont elle est composée; le vecteur de s sera IiH-Ij-H. . .H-I».

b. Une forme s du deuxième ordre est réductible d'une infinité de manières à la somme d'un bivecteur et d'un segment dont le vecteur est le vecteur même de s. En effet, soit un point quelconque : puisque

AiIi=(A,-0)Ii-+-OIi, la relation (i) prend la forme

sz= 0(Ii-i-Ia-i-...-hI«)

H-[(A, — 0)Ii+(A2 — 0)Ij + ...-f-(A„-0)I«],

qui démontre le théorème.

En général, étant un point quelconque, on a 5= 01 -H m, où I est le vecteur de 5, et u un bivecteur qui dépend de s et deO.

c. Si s est une forme du deuxième ordre, on appelle invariant de s le tétraèdre ss.

Pour que la forme s du deuxième ordre soit réductible à un segment ou à un bivecteur (c'est-à-dire au produit de deux formes du premier ordre) il faut et il suffit que l'invariant de 5 soit nul (55 = 0). En effet, si 5 = AB, où A et B sont des formes du premier ordre, 55 1=: AB AB = o ; la condition est donc nécessaire : si au contraire 5 x= 01 -h m, alors ss =: 2OI w; on a bien 55 = 0, quand Im = o; si I ou u sont nuls, alors s est un segment ou un bivecteur; mais si I et m ne sont pas nuls, u est alors parallèle à I et 01 -+- w est un segment parallèle à 01 : la condition est donc bien aussi suffisante.

d. Soient A, B deux points et I, J deux vecteurs d'un plan; considérons la forme du deuxième ordre 5 = AIh-BJ. Si les segments AI, BJ ne sont pas parallèles et que soit le point commun aux droites qui comportent les segments AI, BJ, l'idenlité 5 = 0(1 -h J) + (A — 0)1 + (B — 0)J donne alors y = ( I + J), car les vecteurs A — 0, B — sont respective-

ment parallèles aux vecteurs I, J et la formule 5 = 0(1 H- J) fournit la réduction immédiate de 5 à un segment. Si les segments Al, BJ sont parallèles, alors J = ^I et

A -4— ■rR

5zz:(A-i-^B)I : si ^7^ — I, on a 5= (1 + J), et Ton

réduit 5 à un segment, faisant usage de la construction du barycentre de la forme A -h ^B ; si a? =— i, alors ^ = (A — B) I et s est réductible à un bivecteur. En général, une forme du deuxième ordre qui est la somme de segments d'un même plan est toujours réductible à un segment ou à un bivecteur. En Mécanique, on peut représenter une force appliquée à un corps rigide par un segment et la résultante d'un système de pareilles forces par une forme du deuxième ordre. Un couple est représenté par un bivecteur : si A, B, C, D sont quatre points, le nombre ABCD est proportionnel au moment de la force AB par rapport à Taxe CD. Si m est un bivecteur, u est Taxe moment du couple.

Exemples, — i^^ Soient Ai, Aj, ..., A„ des points d'un même plan : la forme

* = AiA2-h A2A3-f-. . .-h An-iA«-f- A/jAi

a un vecteur nul; elle est donc réductible à un bivecteur. Quel que soit le point P du plan, le triangle Vs a la même valeur et Ton peut appeler aire limitée de la ligne polygonale fermée Ai, Ag, . . ., A^, Taire du triangle P5. Si la ligne est convexe, l'aire ainsi définie est celle que l'on considère en Géométrie élémentaire.

2« Soient A, B, C les sommets d'un triangle; posons