BC , CA AB

^""modBC' modCA' ^""modAB'

Les segments 6-+-c, c + a, a-+-ô sont sur les bissectrices externes, et les segments h — c, c — a, a—- h sur les bissectrices internes du triangle. Les identités

dérnonlrent que les points de rencontre des bissectrices externes avec les côtés opposés sont placés sur une même droite. On trouvera de même la signification géométrique des identités « + ô — c = (a + 6) — c = (a — c) + ^ =i (6 — c) -h a, ..., b — c=:{b — a) — {c — a), ....

21. Formes du troisième ordre. — Chaque triangle est réductible à la forme Aw où A est un point et u un bivecteur, car ABC=: A(B — A)(G — A); et l'on peut faire, de même, comme précédemment, pour le produit d'un triangle par un nombre, car m{Au) = A(/ww). Par suite une forme o- du troisième ordre, qui est la somme d'un nombre fini de triangles, est toujours réductible à la forme générale

(l) J = AiWi+ A2MjH-. . .-h ArtMn,

OÙ Al, A,, . . ., Art sont des points et Wi, mj, ...,"« des bivecteurs.

a. Appelons bivecteur du triangle A m le bivecteur u, et, de même, bivecteur d'une forme du troisième ordre la somme des bivecteurs des triangles dont elle résulte ellemême par addition; le bivecteur de <j est alors

b. Une forme du troisième ordre est réductible à un trivecteur ou à un triangle, suivant que son bivecteur est nul ou non. Considérons, par exemple, un point quelconque 0; on a, entre autres,

AiMi = (Al— 0)mi-+- 0«i et, par conséquent,

c'est-à-dire que o- est précisément réductible à la forme

(T = Ow-f- a, où est un point quelconque, u est le bivecteur de o- et a est

LBS FORMES GÉOMÉTRIQUES. 89

un trivecteur dépendant de et de o*. Alors, si u ^ o, on peut déterminer le vecteur I tel que a + Iw et, par suite,

(t = (Oh-I)m

et (T est bien réductible à un triangle; au contraire, si m = o, on a (7 = a et 0- est réductible à un trivecteur.

22. Éléments projectifs. — Quel que soit Tordre de la forme non nulle A, nous écrivons, pour abréger, posit A, au lieu de position de A.

a. Si S est une forme du premier ordre telle que Swp^o, nous posons

posit S = 5— ;

en d'autres termes, par le signe posit S, nous désignons le barycentre de la forme S. Si S' est un multiple de S on aura posit S' = posit S, et réciproquement.

Si I est un vecteur non nul, nous conviendrons toujours que le symbole posit I est équivalent à direction de\\ on en déduit pour deux vecteurs non nuls I, J parallèles (ce qui revient, comme nous l'avons vu, à dire que I est un multiple de J), posit I = posit J, et réciproquement. Avec le langage ordinaire de la Géométrie projective, on dira que posit I est un point à V infinie

Nous écrirons de même point projectif au lieu de position d'une forme non nulle de premier ordre. Un point projectif peut être alors un point (suivant Euclide), ou bien un point à rinfini. Si S est une forme non nulle du premier ordre, écrivons aussi point S au lieu de posit S.

b. Soit a une forme non nulle du deuxième ordre à invariant nul (aa =zo) : nous indiquerons par le symbole posita, le lieu des points projectifs, positions des formes non nulles A, du premier ordre, telles que Aa = o. Si A, B sont deux points tels que AB ^ o, posit AB contiendra tous les points de la droite (illimitée) qui joint A et B, ainsi, d'ailleurs, que le point à l'infini qui est la position du vecteur B — A. Soient

4o CHAPITRE I.

de mêrae deux vecteurs I, J, avec la condition Up^o; positlJ représente, d'après les précédentes conventions, un ensemble de points à rinfini qui peut être identifié à Torientation du bivecteur IJ. Si a, b sont deux formes, non nulles, du deuxième ordre, dont nous supposons les invariants identiquement nuls, tels que a est un multiple de 6, on aura

posita = posit^.

Nous convenons encore d'écrire droite projectile au lieu de position d'une forme non nulle du deuxième ordre dont Vinvariant est nul; droite à Vinfini, au lieu de position d'un bivecteur non nul; droit a au lieu de positâr.

c. Soit a une forme non nulle du troisième ordre : nous indiquerons par posita le lieu des points projectifs qui sont les positions des formes du premier ordre A telles que A a = o ; dans ces conditions si A, B, C sont trois points soumis à la relation ABC^o, positABC contient tous les points du plan qui passe par A, B et C, ainsi que tous les points de la droite à rinfini qui est la position du bivecteur (B — A)(G = A). Si a est un trivecteur non nul, alors posita =: posito et posito) est le lieu de tous les points à l'infini. Si a et (3 sont des formes non nulles du troisième ordre, telles que a soit un multiple de (3, on aura posita 1= posit (3 et réciproquement.

Comme précédemment, nous écrirons plan projectif au lieu de position d'une forme non nulle du troisième ordre, plan à Vinfini au lieu de posito, et plan a au lieu de posita (*).

d. Si AB 7^ o droit AB est alors la droite projective qui joint les points A et B. Avec Aa^^o, planAa sera le plan

(*) Toutes les propriétés ordinaires subsistent pour des éléments projectifs définis comme nous venons de le faire. En suivant la méthode que nous venons d'exposer et en appliquant la théorie des transformations linéaires, on peut très aisément obtenir toutes les propriétés de la Géométrie projective ordinaire. [ Voit C. BuRALl-FoRTl, // metodo del Grassmann nella Geometria proiettiva. {Rendic. Cire. Matem. di Palermo) Nota I, 1896; Nota II, 1897.] ^ puissance de la méthode de Grassmann s'affîrme également dans le champ de la Géométrie synthétique.

LES FORMES GÉOMÉTRIQUES. [\l

projectif qui passe par le point A et la droite a. Les conditions ap^o, ABp^o, Aa=:Ba = o montrent que tous les points de la droit AB sont situés dans le plana.

23. Les formes du premier ordre A, B, ... sont dites collinéaires, quand celles qui ne sont pas nulles ont leurs positions sur une même droite projective ; de même les formes du premier ordre A, B, ... et les formes du deuxième ordre a, b, ..., à invariants nuls, sont dites complanaires quand celles qui ne sont pas nulles ont leurs positions sur un même plan projectif.

Exemple. — Les vecteurs parallèles à un même plan sont des formes collinéaires: les vecteurs et les bivecteurs sont des formes complanaires.

a. Si AB ^ o, et que les formes du premier ordre A, B, C, D

CD soient collinéaires, la notation j^ a reçu une signification

unique (n<» 4 et n<» 12, d), puisque AB et CD sont bivecteurs ou segments, selon que droitAB est ou n'est pas une droite à rinfmi. Nous convenons alors d'identifier le signe CD au

CD nombre -^ (la forme AB étant fixée) quand nous ne considérerons que des formes du premier ordre, collinéaires avec A et B.

b. De même si ABC^^o, et que les formes du premier

DEF ordre A, B, C, D, E, F, soient complanaires, la notation ^g^

a reçu une signification univoque, car ABC, DEF sont des trivecteurs ou des triangles, suivant que plan ABC est ou n*est pas le plan de Tinfini. Lorsque la forme ABC est fixée nous conviendrons encore d'identifier le signe DEF au

DEF nombre j^j à condition de ne considérer que les formes du

premier ordre qui sont complanaires avec A, B et C.

24. Identité entre formes du premier ordre. — Les théorèmes que nous allons énoncer donnent les relations qui

^2 THAPITRE I.

existent entre cinq formes quelconques du premier ordre, ou bien entre quatre formes complanaires du premier ordre, et trois formes collinéaires du même ordre.

Théorème I. — 5f A, B, G, D, E sont des formes du premier ordre, on a

(i) BCDE.AH-GDEA.B-hDEAB.G-hEABC.D-hABCD.E = o.

Dém, — Si A, B, C, D, E sont des points satisfaisants à ABCD ^ o, on peut déterminer les nombres x, /, z tels que

E — A = 07(3 — A) -f- jC - A) H- 2(D — A),

ou encore

(i)' E = (i — ^— j — 2)A-hJcBH-jGH-zD;

en multipliant par BCD les deux membres de l'égalité (i)',

on a

BGDE

et autres formules analogues pour ^,y, z. Si nous substituons alors ces valeurs de i — ^ — y — z, x, y, z dans l'égalité (i)', on trouve que la formule (i) est démontrée lorsque A, B, C, D, E sont des points et que A, B, C, D ne sont pas complanaires; mais cette équation (i) est symétrique par rapport à toutes les lettres, ce qui prouve qu'elle est également vraie quand A, B, C, D, E sont des points non complanaires ; d'ailleurs, si A, B, C, D, E étaient des points complanaires, chaque terme de cette équation serait nul. Donc cette équation (i) est bien établie pour le cas où A, B, C, D, E sont des points quelconques.

Si A, B, C, D, E sont des formes du premier ordre, on a

A = miAi-H /W2A2, B = 72iBi+ 712B2, G =/?iGi-hp2C2, D = ^iDi-h^2D2, E = riEi-hr2E2,

où Al, . . . représentent des points et /Wi, . . . des nombres; les égalités analogues à l'équation (i), que l'on peut former avec les points Ai, . . ., Bj, . . ., sont alors vérifiées; d'autre

pari, celles-ci, multipliées par les produits mnpqr et sommées, donnent la formule (i).

Théorème II. — Si A, B, C, D sont des formes complanaires du premier ordre, on a

BGD.A— GDA.B -f- DAB.C — ABG.D = o.

Dém. — Soit E une forme du premier ordre, non complanaire avec A, B, C, D, le théorème I indique que Ton a

BCDE.A — CDAE.B-4-DABE.G — ABGE.D = o,

car ABCD=o. Mais les nombres (tétraèdres) BCDE, CDAE, ... sont proportionnels à BCD, CDA, ... et le théorème se trouve ainsi démontré.

Théorème II. — Si A, B, C sont des formes colUnéaires du premier ordre, on aura

BG.A-f-CA.BH-AB.C = o.

Dém. — Car si D est une forme de premier ordre, non collinéaire avec A, B, C, on déduit du théorème 11 que

BGD.A H- GAD.B -h ABD.C = o,

puisque ABC = o; or les nombres BCD, CAD, ABD sont proportionnels à BC, CA, AB, ce qui achève d'établir le théorème énoncé.

§ 4. - PRODUITS RÉGRESSIFS.

25. Formes du deuxième et troisième ordre. — Soient A, B, P, Q, R des formes du premier ordre; en posant

(i) AB.PQR = APQR.B-BPQR.A

nous dirons que AB.PQR est le produit régressif, ou simplement le produit de AB par PQR. En rapprochant la déflnition (j) et l'identité du théorème I du n° 24-, on voit que

(2) AB.PQR = ABQR.P n- ABRP.Q -4- ABPQ.R.

a. Si Ton a A'B'z=AB et P'Q'R'i=PQR, les formules (i), (2) prouvent que

AB.P'Q'R' = AB.PQR, A'B'.PQR = AB.PQR,

et, par suite, le produit AB.PQR peut être considéré comme une fonction des formes AB, PQR. Si nous posons encore

« = AB, a = PQR, on pourra écrire

(i)' AB.a = Aa.B — Ba.A,

(2)' rt.PQR = rtQR.P-i-rtRP.Q + aPQ.R,

ce qui définit le produit d'une forme du deuxième ordre, à invariant nul, par une forme du troisième ordre.

Quant au produit d'une forme quelconque a du deuxième ordre par une forme du troisième ordre a, nous convenons qu'il se trouve défini par la formule (2)'. Si l'on convient que aa = aa, le produit d'une forme du deuxième ou du troisième ordre par une forme du deuxième ou du troisième ordre reste défini d'une manière générale. Ces produits ont, au reste, toutes les propriétés des produits algébriques, y compris la propriété commutative; on aura, par exemple,

aa = aa, (« -i- ô)a = aa H- Z>a, «(a -h P) = «a -h a^

et, si X est un nombre réel,

b. Il résulte encore des équations (i) et (2) que (aa)a = o, (aa)a=:o, ce qui prouve que aa ou «a est une forme du premier ordre appartenant aux formes a, a. Si a a 7^0 avec aa = o, positaa est le point projectif, intersection de la droite a et du plan a, on en déduit qu'une droite et un plan projectif ont toujours au moins un point commun. Si a ^ o, a ^ o, avec aa = o, on aura a a = o lorsque la droite a est contenue dans le plan a, et réciproquement.

G. A étant un point et I un vecteur, on a

AI.o) = Ato.I — Ito.A = I,

ce qui revient à dire que AI.w est le vecteur du segment AI. En général, si s est une forme du deuxième ordre, s(ù est le vecteur de la forme s, et l'on a, quel que soit le point 0,

s = 0(^a>) -h Uj

expression dans laquelle u désigne un bivecteur fonction de et de s.

Exemples. — Soient A, B, ... des points, a,b,,,, des segments non nuls, et a, (3, ... des triangles également non nuls. On peut énoncer les propriétés suivantes :

i«' La parallèle à la droite a, menée par le point A, est la position de la forme A.aw.

2« Le plan perpendiculaire à la droite a et passant par A est la position de la forme A | aw.

3* La position de la forme Aa. A | aw est la droite qui passe par A, perpendiculairement à la droite a, et rencontrant précisément cette droite au point qui est la position de la forme a. AI ao).

4® La condition de parallélisme des droites a et 6 est aw.èo) = o, et la condition de perpendicularité de ces mêmes droites aw 1 6&) = o.

5* Si AB . a ^ o et que AB . a ne soit pas un vecteur, AB . a est le point de rencontre de la droite AB avec le plan a, la masse de ce point étant d'ailleurs égale à Aa.Bco — Ba.Aw.