Formes du troisième ordre. -— Soient A, B, C, P, Q, R
des formes du premier ordre, posons
ABC . PQR = APQR . BG -+- BPQR . CA + CPQR . AB,
et appelons ABC. PQR le produit régressif on simplement le produit de ABC par PQR.
a. Il est manifeste que ABC.PQR est une fonction de la forme du troisième ordre PQR; mais on peut démontrer que ABC.PQR est une fonctiou aussi de la forme ABC : ainsi.
étant données deux formes du troisième ordre a et (3, le produit a|3 de ces deux formes du troisième ordre, Tune par l'autre, se trouve bien défini. Ces produits ont encore toutes les propriétés des produits algébriques, excepté cependant la propriété commutative ; on a, par exemple,
a^=— pa, a(p -f- y) = a? + «Y,
et, si a: est un nombre,
.r(ap) = (j:a)P = a(jrp).
b. De la définition même du produit a^, on déduit que (a(3) (a|3) — o, (a|3)a = o, (a|3)Pz=:o, c'est-à-dire que «p est une forme du deuxième ordre à invariante nulle et qui appartient aux formes a, (3. Si «p^^o, posita|3 est la droite projective intersection des plans a et |3; on déduit de là que deux plans projectifs ont toujours au moins une droite projective en commun. Si a^o avec (3^o, on aura «p^o si plana = plan^ et réciproquement.
c. Soient un point A et deux vecteurs I, J,
AJJ.w = Ato.IJ -f- Ito.JA -I- Jto.AI = IJ.
AIJ.co est le bivecteur du triangle AU. D'une manière générale, si o* est une forme du troisième ordre, <t(ù est le bivecteur de o* et Ton a, quel que soit le point 0,
(T = 0(<Ja») -H a,
a étant un trivecteur fonction de et de o".
Exemples. — Si A, B, . . . sont des points, a, 6, ... des segments non nuls, a, (3, ... des triangles non nuls, on peut dire:
I*' La position de la forme A.ao) est le plan parallèle à a, mené par le point A,
2« La position de la forme A | (aw) est la droite perpendiculaire au plan a, issue du point A.
3*» La position de la forme a|(aa)) est le plan perpendiculaire au plan a, passant par la droite a.
4* La condition de parallélisme de deux plans a et (3 est ( aw) (IPc*)) = 0, ce qui revient à dire que aw est un multiple de (3(k) ; la condition de perpendicularité est (aw) ( Pco) = o. La condition de parallélisme de la droite a avec le plan a est (aw) (aw) =o, et la perpendicularité de la droite et du plan est exprimée par («w) | (aw) =: o.
5« Si aw.^wp^o, le vecteur | (aw.^w) est perpendiculaire aux droites a et ^; par conséquent, la droite
(i) [a I (aw.^Oi))] [ô I (acj.^cj)]
est la perpendiculaire commune aux droites a et ^ : les positions des formes
(2) fl[^ |(aa).fta>)], ^[«t |(a(i>.&a>)]
sont les points communs à la droite (i) et aux droites a et h. Si A, B sont les positions des formes (2), on a
et
aô = A.aa).B.^a> = A(A — B).aai.^(D;
mais le vecteur A — B est perpendiculaire au bivecteur ftw.ôw; par suite
mod(«^)= 7mod(AB)mod(«a).&a)) ou (3) mod(AB) = — -r-, — , . >
qui nous donne la plus courte distance entre les points de la droite a et ceux de la droite 6, lorsque ces deux droites ne sont pas parallèles.
27. Propriétés générales des produits. — Nous allons grouper ici les propriétés générales des produits progressifs
et régressifs. Soient donc r et ^ deux nombres entiers positifs inférieurs à 4; Ar, Ar des formes d'ordre /•; A„ Ai des formes d'ordre 5, on a :
I" Si rH-554, le produit de Ar par A, est progressif et ArA, est une forme d'ordre r-hs;
2® Si rH-5>4, le produit de Ar par A^ est régressif et ArA^ est une forme d'ordre r h-5 — 4;
3« Si Ar=AÎ. et Aj=Ai, alors Ar A, = A,'. Ai;
5® A,.(Ai4- Ai) = ArA, -1- ArAi;
6® Si X est un nombre, x{ArAs) = (^Ar)Arf=: Ar(^A,).
28. Dualité. — Soient r, s, t des nombres entiers positifs plus petits que 4> et soient, en outre, Ar, A,, A^ des formes d'ordres respectifs r, 5, t. On obtient le produit ArAs-At par deux multiplications; si ces deux multiplications sont progressives Ar Af.A/, est alors une forme d'ordre r-^s-^ t; si une de ces multiplications est progressive et que l'autre soit régressive, Ar A^.A/ est alors une forme d'ordre r-{-s-ht — 4; enfin, si les deux multiplications sont régressives, ArA^.A/ est une forme d'ordre r -hs -h t — S.
Si A, B, , , ., a, b, . . ., oc, (3, ... sont respectivement des formes du premier, deuxième et troisième ordre, on peut aisément démontrer les formules suivantes pour les produits de trois facteurs :
(1) AB.C = A.BC, (i)' ap.Y=a.pY'
(2) AB.a = A.B€Z, (2)' a^.a = a.^a,
(3) AB.a =Aa.B — Ba.A, (3/ ap.A = aA.p — pA.a,
(4) ab .k = ak,h -\- bk,a^ (4)' ab.a=aa.b — ba,a,
(5) Aa,a = XoL.a -h aa,A.
On déduit les formules (i)'-(4)' des formules (i)-(4) en changeant les formes du premier et du troisième ordre, respectivement en formes du troisième et du premier ordre;
une permutation analogue effectuée sur la formule (5) donne cette même formule résolue toutefois par rapport au deuxième terme du second membre.
Les formules que nous venons d'écrire expriment le principe de dualité pour les formes géométriques. De ces formules, les équations (3), (4), (3)', (4)', (5) sont relatives aux éléments géométriques projectifs de Tespace, puisque une propriété concernant les projections et les intersections (*) en fournit une autre par le changement des points et plans projectifs en plans et points projectifs.
Les formules (3), (4), (3)', (4)', (5) et celles que Ton peut en déduire, en les résolvant par rapport à un terme de second membre, permettent d'énoncer les deux règles générales suivantes :
I" Si la somme r 4- ^ 4- ^ est égale à 5 ou à 7,
2*» Si rH-5-h^=:6, sans que cependant l'on ait/=5=:^
Ar A^.Af = A,.Af.Aj — ( — i)' AjAf.Ar.
29. Produits régressifs dans un plan projectif. — Nous allons maintenant considérer les formes du premier, du deuxième et du troisième ordre dont les positions sont dans un même plan projectif donné; chaque forme du troisième ordre peut être identifiée à un nombre.
Nous poserons
(i) AB.PQ = APQ.B - BPQ.A,
(') Dans le cas où le produit AB est progressif, posit AB représente l'élément projectif (droit ou plan) détreminé par la condition qu'il doit contenir posit A et positB, c'est-à-dire que posit AB est l'élément projectif qui projette posit A, posit B étant le centre de projection, où est l'élément projectif qui projette posit B, posit A étant le centre de projection. Si le produit AB était au contraire régressif, posit AB serait l'élément projectif (point ou droite) déterminé par la condition d'être continu en posit A et en posit B. En un mot, le produit progressif représente l'élément projetant et le produit régressif l'élément projection.
5o CBAPITRE I.
et appellerons AB.PQ \q produit régressifs ou simplement le produit de AB par PQ, en supposant que A, B, F et Q soient des formes du premier ordre. En comparant Tidentité du théorème II (n° 24) à cette définition on peut écrire
(2) AB.PQ = ABQ.P — ABP.Q.
a. Si rona A'B' = AB etP'Q'=PQ, il résulte que
