AB.P'Q'= AB.PQ, A'B'.PQ = AB.PQ
Ainsi, le produit AB.PQ est une fonction des formes AB, PQ, et, si Ton pose a — AB, b ■=^ PQ, le produit régressif de a par b se trouve défini. Ces produits ont encore toutes les propriétés des produits algébriques, la propriété commutative exceptée; soit
ah =^ — ha^ a(b -{- c) = ab -i- ac
et
x{ab) = {xa)b'= a(xb)^
si X est un nombre.
b. Par les formules (i) et (2), on déduit que {ab)a^=o, (ab)bz=o, c'est-à-dire que ab est une forme du premier ordre appartenant aux formes a et b, tandis que le point ab est le point projectif d'intersection des droites a eib dans le cas où «6^ o; on en déduit encore que deux droites projectives complanaires ont toujours, au moins, un point commun. Lorsqu'on aura a^o avec b^o, ab sera nul quand droita = droite et réciproquement.
G. Si M, i^ sont des bivecteurs, le produit progressif de u par (^ est toujours nul; mais, si l'on considère w, i> comme des formes du deuxième ordre ayant leurs positions dans le plan à l'infini, le produit régressif de u par {^ est un vecteur et posïiuç est un point à l'infini commun aux positions des bivecteurs w, V {^) droites à l'infini, dans le cas où wpp£o.
^*) La condition de parallélisme de deux plans a et p, indiquée au 4" exemple du n° 26, reste toujours aco.^co = 0, lorsque acj.^u) est un produit régressif sur le plan de rinfini {voir h).
30. Soient r, s des nombres entiers positifs inférieurs à 3 et Ar, a;., A^., A's des formes d'ordres /*, s; des produits progressifs et régressifs dans le plan résultent les propriétés générales suivantes :
I" Si r-h5^3 le produit de A^ par A, est progressif et Ar A, est une forme d'ordre r -\-s;
2« Si r + 5>3 (ou /'4-^=:4) le produit de A^ par A, est régressif, et Ar A^ est une forme d'ordre r h- 5 — 3.
3« Si Ar = A-'r avec A^ = Ai, on a Ar A^ — A^ Ai;
4e ArA, = (-ir-»-^-*A,Ar;
A-r \ A-s ~H Aj ) "^^^ ApAg ~\- Ar A.s y
6® Si ^ est un nombre, ^(Ar A5) == (a:Ar)A5 = ArC^A^).
On peut écrire aussi pour les produits de trois facteurs dans le plan
(i) AB.C = A.BC, (1)' ab.c=a,bc,
(2) AB.«=Aa.B — Ba.A, (2)' ab,A = aX.ù — ftA.a,
qui donnent, sur le plan, le principe de dualité pour les formes géométriques et les éléments projectifs du plan.
