PP'O
et la courbe P tourne au point P sa concavité vers la direction
positive de l'axe des j, ou bien encore présente sa concavité à l'origine, quand y >o ou {xy^ — y)y">^*
Une application entièrement semblable peut être faite aux coordonnées polaires, pour lesquelles on a
P'= p'e/9l H- pe'Çil, P'^^ (p"— p) e^n 4- ap'e'Ç/I,
et donc
pp'pff__
= -(2p'2-pp"+p2),
PFO = -
5« Soient, dans un plan, Pi(^), Pj(0 deux points tels que, pour chaque valeur de ty
Pi P2 9^ o, P; 9^ o, P'2 ^ o
et
PiPaP'i^PiPîPi;
la position de la forme /? =i Pj Pj décrit une enveloppe dont l)a caractéristique est décrite par la position de la forme du premier ordre
;?;?'=PiP8(P;P2 + PiP'2) = PiP2P'2.Pi-PiP2P;.P2;
donc la caractéristique de l'enveloppe/? sur la droite p est le barycentre des points Pi, P2, qui ont pour masses les distances avec un signe déterminé, des points P2 + P',, Pi4-Pi à la droite Pi P2.
Si, par exemple,
Pi = H- ri, P, = 4- s/a-^—V^il,
alors la droite Pi Pj enveloppe un astéroïde; les distances des points Pj + P'i et Pj 4- Pi à la droite Pj P2 sont
i/«-« — /2 t^ et —
par suite, les masses des points Pi, Pj sont
/2 et a^—f^,
et la caractéristique P de l'enveloppe Pi P, sur la droite Pi Pj est le pied de la perpendiculaire issue du point Pi 4- Pj — à la droite Pi Pj.
42. Courbes gauches et enveloppes de plans. — Soient P(^), 7r(^) des formes non nulles, respectivement du premier el troisième ordre, définies ainsi que leurs dérivées dans un intervalle donné.
On appelle ligne P l'ensemble des points projectifs, positions des formes P(0 lorsque t varie dans l'intervalle donné.
Si pour toute valeur de t les points de la ligne P sont situés sur une même droite ou sur un plan fixes, nous dirons alors que la ligne P est, respectivement, une ligne droite ou une ligne plane.
S'il est impossible de déterminer un intervalle, compris dans celui où varie r, relativement auquel la ligne P soit une ligne droite ou une ligne plane, nous dirons alors que la ligne P est une courbe gauche.
Si R, Ri sont des points projectifs de la ligne P et que la droite qui joint R et Ri ait pour limite, lorsque Ri varie sur la ligne P et tend vers R, une droite bien déterminée, cette droite est dite tangente à la ligne P au point R.
On appelle enveloppe ir l'ensemble des plans projectifs, positions des formes •7r(f) lorsque t varie dans l'intervalle donné.
Si pour toute valeur de t les plans de l'enveloppe ir passent par une même droite ou par un point fixes, nous dirons alors que Tenveloppe Tt est, respectivement, une enveloppe axiale ou une enveloppe conique.
S'il est impossible de déterminer un intervalle, compris dans celui où varie f , relativement auquel l'enveloppe ir soit une enveloppe axiale ou une enveloppe conique, nous dirons alors que l'enveloppe ir est une enveloppe gauche.
Si p, p, sont des plans projectifs de l'enveloppe tt et que la droite commune à p et pi ait pour limite, lorsque pi varie sur l'enveloppe it et tend vers p, une droite bien déterminée, cette droite est dite caractéristique de l'enveloppe iz dans le plan p.
Si Tenveloppe tt est une enveloppe axiale et ne se réduit pas à un plan unique, la caractéristique sur p est la droite par laquelle passent tous les plans de l'enveloppe tt; cette droite peut être appelée axe de l'enveloppe. Si cette enveloppe tt est une enveloppe conique, la caractéristique sur p, si, d'ailleurs, elle existe, passe par le point commun à tous les plans de Tenveloppe tt; ce point peut être appelé sommet de l'enveloppe.
Si R, Ri sont des points projectifs de la ligne P et si la droite projective r est la tangente en R à la ligne P, tandis que le plan qui
Si p, pi sont des plans projectifs de l'enveloppe iz et si la droite projective r est la caractéristique sur p de l'enveloppe tt, tandis que le
passe par r et Ri ait pour limite, lorsque Ri en variant sur P tend vers R, un plan bien déterminé, ce plan est alors appelé plan osculateur de la ligne P au point R.
Appelons enfm enveloppe osculatrice de la ligne P l'enveloppe dont les plans sont osculateurs pour la ligne P.
point commun à r et pi ait pour limite, lorsque pi en variant sur l'enveloppe it tende vers p, un point bien déterminé, ce point est appelé point de rebroussement de Venveloppe ir au plan p.
Appelons Ugne de rebroussement de Venveloppe iz la ligne dont les points sont de rebroussement pour l'enveloppe it.
Théorème I. — Si^ pour une valeur de t, m est le plus petit des nombres entiers non nuls x tels que :
ppu) ^ o, la tangente à la
ligne P au point P est la droite pp(,«).
T^T^ix) ^ Q^ id caractéristique de V enveloppe tt sur le plan tt est la
droite irir^'^^
et ceci se démontre identiquement comme le théorème I du n*» 41. En particulier :
Si PPVo, la tangente à la ligne P au point P est la droite PF.
Si TTir'^ o, la caractéristique de Tenveloppe tt au plan ir est la
droite utt'.
Théorème II. — Sij pour une valeur donnée de t^m et n sont les plus petits des nombres entiers non nuls x, y (^ <C /), t^is que
ppcj:) p(r) ^ o, /e plan osculateur de la ligne P au point P est alors le plan PP(m)p(«).
TTir^^^Tc^^^^ o, le point de rebroussement de l* enveloppe tt sur le plan tt est le point iz k^^"-^ tz^^-K
Dém. (à gauche). — Posons, à cet effet, Pi=:P(^ + A) et appliquons la formule Taylor; il vient
/i/n • //«— 1 hn
P, = P4-//P'-+-...-h^F'«)-f-...+ --^ rTP^«-'^-^^(P(«J+Q),
m\ {n — i)! ni ^^
011 Q est une forme du premier ordre, telle que lim Q =0;
d'ailleurs on a, par hypothèse,
pp(m)p(>)=o pour j = m-i-i, ...,/2 — i;
donc
et par suite
pp(m)Pj= :^(PP('«)p(«)-hPP('«)Q),
lim posit PP^'^^Pi = posit PP(/n)p(«).
Mais la droite PP('») est tangente à la ligne P au point P, et par conséquent lim posit P^^'^P Pi est le plan osculateur au
point P.
Si PP'P"?^ o, le plan osculateur de la ligne P au point P est le plan PP'P\
Si irir'ir*?^ o, le point de rebroussement de l'enveloppe ir sur le plan tt est le point irTi'ir".
Dans le cas où la ligne P est une ligne droite, le plan osculateur en chacun de ses points est indéterminé; car, si P décrit une ligne droite P = o^A -+-7B, où A, B sont des formes constantes et œ, y sont fonctions de t\ mais alors p(m)^(m)^^^(/«)g et pp(/«)p(«) est toujours nul. On
pourrait en dire autant pour une enveloppe axiale.
Si la ligne P est seulement une ligne plane, le plan osculateur, en chacun des points où la tangenle est déterminée, est le plan même de la courbe. En effet, le plan PP^^^^Pi a une position constante qui n'est autre que celle du plan de la courbe. Conclusions analogues pour une enveloppe conique.
Théorème III.
Si, pour chaque valeur de f , on aPP'P^P'Vo:
a. La ligne P est une courbe gauche.
b. Les tangentes à la courbe gauche sont les caractéristiques de l* enveloppe osculatrice de la courbe P.
C. La courbe P est la ligne de rebroussement de l'enveloppe osculatrice de la courbe P (*).
Si, pour chaque valeur de î, on
a 'Kiz' Ti" iz"' ^ o :
a. U enveloppe ir est une enveloppe gauche.
b. Les caractéristiques de V enveloppe gauche ir sont les tangentes à la ligne de rebroussement de Venveloppe.
c. Venveloppe k est Venveloppe osculatrice de la ligne de rebroussement de l'enveloppe tt.
(') Soit un point P(0' Pour une valeur donnée de t^ imaginons que //i, /ï,
Dém. (à gauche). — Si la ligne P est une ligne plane, on a P = xk + jB + zC, où A, B, C sont des formes constantes et a:,/, z des fonctions de t] alors, quels que soient les nombres m,n,p {m<n<p), on doit avoir PP('")p(«)p(/>) — o; et lorsque, pour chaque valeur de ^, Fon a PP'P^P'^^o, il en résulte bien la partie a du théorème énoncé.
Posons maintenant a = PP'P'' : étant, par hypothèse, PP'P^^o pour chaque valeur de t, Tenveloppe <x est alors l'enveloppe osculatrice de la courbe gauche P; on a
a'=PP'P", a''=PFP"'-hPP'P'%
P soient les plus petits des nombres entiers et positifs x^ j^ z satisfaisant à j;<7<zet tels que PP(*)P(r)P(') ^ 0. La formule de Taylor, en posant P,= P(f + A), donne successivement
PP.= -:(PP(-)-hQ.),
ni
pp(m)p^= 'L (pp(m)p(n)| QJ^
PP('")P(«)P^= ^(Pp(m)p(n)p(p)^Qj^ P •
OÙ Q„ Q„ Q, sont des formes du premier ordre soumises à la condition limQ, = lim Q, = limQj= 0. En supposant que h soit l'infiniment petit principal, on voit que les distances du point P^ au point P, à la tangente au point P et au plan osculateur en ce point P, ont respectivement pour ordre infinitésimal m, n^ p\ voilà une interprétation géométrique des nombres m, n, p qui donnent Tespèce de la singularité au point P. Nous ne voulons pas ici étudier plus en
détail les points singuliers des courbes. Voici un exemple : variant 9 de
à -> le point
P = + cos'cpl 4- sinç cosçJ -f- sinçK
décrit une fenêtre de Viviani, sur la surface sphérique de centre avec l'unité
pour rayon: on a
P'P''P"'=cos9,
et le seul point P ( - j = -h K est un point singulier de la courbe. Dans le point + K, la tangente est la droite (0 + K) J et le plan osculateur est le plan (Oh-K)J(2I — K); on a une singularité, car P' ( - ) est parallèle au
vecteur P^Y^V
et, pour les produits régressifs olol^ aa' a"y
aa'= PFP\PFP"'= P''PP'P'.PP'= ??'?"?".??',
aa'a''= PFP''F'.PF.(PP''P"'-l- PP'P'') = - (PFFP'^O^.P, d*oii Ton décrit les égalités
positaa'= positPP', positaa'a''= positP,
qui démontrent les parties b, c du théorème.
Théorème IV.
Si P(0 ^st une forme du premier ordre etV{t) une forme continue telle que, pour une valeur to de t, V(to)F(to) ^ o, la tangente à la ligne P au point P(^o) est la position limite de la droite P(^i) P(/2), lorsque ^i, t^ tendent vers la valeur to.
Si 7u(f ) est une forme du troisième ordre et Tz'(t) une forme continue telle que, pour une valeur to de t, 'ir(fo) T^'i^o) 9^ o, la caractéristique de V enveloppe x sur le plan 7u(fo) ^st la position limite de la droite 11(^1)71(^2), lorsque ^i, t^ tendent vers la valeur to.
Ceci se démontre comme le théorème du n*» 41.
Théorème V.
Si P(f) est une forme du premier ordre déterminée ainsi que P'(0 et P"(0, et si P"(0 est, en outre, fonction continue tel que, pour une valeur to de t,
P(/„)P'(<o)F(io)?^o,
le plan osculateur à la ligne P au point P(^o) est la position limite du plan
lorsque fi, t%, tz tendent vers la valeur to*
Si U(t) est une forme du troisième ordre déterminée ainsi que U'{t) et n''(0, et si U\t) est, en outre, fonction continue tel que, pour une valeur to de t,
n{to)n\to)U''{to)9^o,
le point de rebroussement de V enveloppe n dans le plan n(fo) est la position limite du point
n(fi)n(f2)n(^3),
lorsque ?i, t^, t^ tendent vers la valeur to.
Dém. (à gauche). — On a mais
lîm
ce qui démontre le théorème.
a. On appelle plan normal à la ligne P au point P le plan qui passe par le point P perpendiculairement à la tangente au point P; on appelle encore plan rectifiant au point P de la ligne P le plan mené par la tangente au point P perpendiculairement au plan osculateur en ce point. Si, par exemple, le plan pp('«)p(») est osculateur au point P, les plans PlCPPe^î.w) et PP^'") | (PP('«)P('*).â)) seront respectivement normal et rectifiant en ce point.
On appelle normale principale de la ligne P au point P la droite commune aux plans osculateurs et normal en ce point; binormale, l'intersection des plans normal et rectifiant. Si le plan PP^'") Pf'^) est osculateur au point P, en supposant que P(^) est un point, P^'"^ et P^'^^ sont des vecteurs et les plans P |P('«^ PPC") |p(/n)p(/t) sont respectivement les plans normal et rectifiant au point P : la binormale est la droite P|P(m)p(n) est la normale principale (P|P('«)).PP('«)p(»).
b. Soient 0, 1, J, K les éléments de référence d'un système coordonné cartésien; si nous posons
p = 0-i-xI+jJ+2K,
que X, /, z soient des fonctions de /, le point P décrit une
courbe. Si PP('«)p(«) est le plan osculateur au point P, alors
en posant
Q = -4- XI -I- YJ + ZK,
on voit que le point Q est un point de la droite PPC^J quand les vecteurs Q— P, P^'"^ sont parallèles, et que Q est un point du plan PP('»)p(«), lorsque les vecteurs Q — P, pc"', P^'^J sont complanaires.. Il en résulte que Téquation de la tan-
gente au point P est
et celle du pian osculateur
{m) TÂm)
yim) yin)
zin)
Dans le cas de coordonnées rectangulaires, le plan
pp(m) I p{m) p{«)
(plan rectifiant) a pour équation
An)
ykm) zim) jc^m) zin) r^iu)
jp(/w) yim)
X^n) yin)
et le plan normal est enfin
(X — x) ar('«> 4- (Y — j)7^'«^ -f- (Z — 2 ) 2('«^ = o.
