SURFACES RÉGLÉES
43. Surfaces réglées en général. — Soit a{t) une forme non nulle du deuxième ordre à invariant nul, définie, ainsi que ses dérivées d'ordre quelconque, dans un intervalle donné.
On appellera surface réglée a ou simplement surjace a, Tensemble des points projectifs situés sur la droite a{t), lorsque t varie dans Tintervalle considéré : en particulier les droites a{t) sont dites génératrices de la surface a.
Si P(^), Q(^) sont des formes du premier ordre, telles que PQ^o, Pûf = Qa = o, pour chaque valeur de /, le point P-hwQ décrit la droite a, quand u varie de — oo à -hoo. Par suite, chaque point de la surface peut être considéré
FORMES YARIABLES. 9I
comme fonction de deux variables, ce qui justifie la dénomination employée de surface {voir Note I); nous n'avons d'ailleurs pas besoin de considérer les points de la surface a comme fonctions de deux variables, et nous pourrons développer la théorie des surfaces réglées indépendamment de la théorie générale des surfaces quelconques.
Puisque a est, par hypothèse, une forme du deuxième ordre à invariant nul, on a, pour chaque valeur de t,
(1) art = o,
formule qui, par dérivation, donne aa' -\- a^a^=io; mais aa^^iza'ay donc laa' =:o ou
(2) aa' = o,
quel que soit t.
Si, d'ailleurs, m est un nombre entier supérieur à l'unité, on a
c'est-à-dire que
(3) aa^^^=y\ hr,soSr)a^s)^
OÙ r, s sont des nombres entiers positifs tels que r + 5 = /w et r<5, tandis que les /z;.,^ sont des nombres entiers fonctions de r et de 5.
Nous ferons un fréquent usage des formules (i), (2), (3).
44. Soient, par exemple, r, r, des génératrices de la surface a, R un point projectif de r, et supposons que le plan qui contient R et Tj a pour limite, lorsque r^ varie en restant sur la surface a, pour tendre vers r, un plan bien déterminé; ce plan sera dit pian tangent (*) à ia surface réglée a, au point R.
( * ) Si R est un point à distance finie, la définition que nous venons de donner est une conséquence logique de celle du plan tangent à une surface en général, que nous donnerons dans la Note II.
On appelle normale à la surface a au point R la perpendiculaire issue de R au plan tangent en ce point.
Théorème I. — Si en un point S d'une ligne tracée sur la surface réglée «, la tangente s à la courbe et le plan tangent (7 à la surface a sont bien déterminés^ la droite s est contenue sur le plan rj,
Dém. — Soient S, un point de la ligne et r, la génératrice de la surface a qui passe en Si, la droite qui joint S et S, est entièrement contenue dans le plan déterminé par S et r,,ce qui prouve que, à la limite, s est contenu dans a.
Théorème IL — Si pour une valeur déterminée de t, P est une forme non nulle du premier ordre ayant pour position un point de la droite a, (Pa = o), et si m est le plus petit des nombres entiers non nuls x tels que Pa^^^^o, le plan tangent au point P de la surface réglée a est précisément le plan Va^"^K
Dém. — Posons ai=r a(f -h A), et appliquons le théorème de Taylor
fil"' — * Il
où q est une forme du deuxième ordre, telle que lim q = o;
d'ailleurs, par hypothèse, Pa^*^ = o pour j? = i, 2, . . ., m — i, donc
Mais
posit Pat = posit (Pû^'^^h- P^),
d'où
lim posit Pai = posit P<2^'«\
égalité qui démontre le théorème, puisque le plan tangent au point P n'est autre que la position limite du plan Pa^.
Théorème III. — En conservant les hypothèses du théo^ rème II, on voit que le plan tangent au point P renferme la
FORMES VARIABLES. gS
droite a {c'est-à-dire qu'il contient la génératrice qui passe au point P).
Dém. — En développant le produit régressif Pa^'">. a, on a
?«(/«).« = — ?«.«(/») -h «(/") a. P = aa^"^KV,
mais la formule (3) du n° 43 prouve queaa^'^^P est la somme des produits de la forme af')af^>.P = a^'-^P.a^^J + a^^jp.a^'^donc, étant r < m, 5 < m, on aura
P/a^'-î = ?aS^^ = o, d'où Pat'w^a = o,
ce qui démontre le théorème.
45. Pour les théorèmes que nous allons énoncer, désorjnais les conventions suivantes resteront toujours sous-entendues. Les formes non nulles du premier ordre P, Q, R, S ont leurs positions sur la droite a (Pa = Qa=:Rar=Sa = o), En disant que le plan tangent au point P de la surface réglée est le plan Pa<'"^ nous entendons qu'il existe des nombres entiers positifs X tels que Va^^^^ o, m étant le plus petit de ces nombres. Quand nous disons enfin que le plan tangent au point P est indéterminé, nous supposons, en d'autres termes, que, quel que soit le nombre entier positif x, on a Pa^^^i^o.
Théorème I. — Si au point P le plan tangent est Pa^"^\ une et une seule des propriétés salivantes sera toujours vérifiée :
a. En tout point R distinct de P, le plan tangent est Raf'*^ avec n<im, et ce plan, ainsi que le nombre n, revient fixe lorsque le point R varie sur la droite a,
b. En tout point R distinct de P, le plan tangent est Ra^'") qui coïncide avec le plan Va^"*\ excepté pour un point S ou le plan tangent sera, soit le plan Sa^'*^ avec n >> /?i, soit indéterminé.
G. En tout point R, le plan tangent est le plan Ra^"*) et en
deux points distincts de la droite a, les plans tangents sont dijfférents.
Dém. — Soit, en effet, Q un point quelconque distinct de P sur la droite a; au point Q, le plan tangent est le plan Q«f'*^ avec n^rriy ou bien encore se trouve indéterminé. Ces différents cas entraînent les propositions a, b, c, comme nous allons le montrer.
Quel que soit R, nous avons
où a?, /sont des nombres réels; si donc le plan Q»^"^ (/i<m) est tangent au point Q, sachant que Pat'*>= o, la formule ( i ) nous donne Ra^'*J=:/Qa('*>; si RP^o, on a 7^0 et Ra<»J^o, c'est-à-dire que n est précisément le plus petit des nombres entiers positifs a? tels que Ra^*^7^o, ou bien encore que le plan Pa^'*) est tangent au point R. Mais, en vertu de l'égalité Ra^'*^=:7Qa^'*>, ce plan est identique à Qa<'*J, ce qui achève d'établir la propriété a.
La première partie de la propriété b résulte du fait que si le planQa('*J(Ai>/n) est tangent en Q, on a Ra('"> = ^Pa('«J, formule qui subsiste encore si le plan tangent au point Q est indéterminé.
Si le plan tangent en Q est Qaf'"^ on a
De planPa("'>=: plan Qa('«\ on peut déduire Qa^'")=APa('"), où h est un nombre réel non nul et la formule (2) devient
Ra('«)=(j7-l-/ij)Pa^'«); quand -^ — A, plan Ra^'")^ plan Pa^"*)
est le plan langent au point R, tandis que si - =z — A, au point
S = point (Q — /iP) le plan tangent sera Saf'"> avec n > m, ou bien est indéterminé : on complète ainsi la propriété b. Si plan Pa^'^J^i^plan Qa^'"), la forme Ra^'^^ ne peut être nulle etRa^'"^ est plan tangent en R; les plans tangents en deux points distincts R et S ne sauraient d'ailleurs coïncider, car si
S = ^iP+jiQ, on a
Ra('«>.Sa('«J =
x\ Ji
Pa^'^^Qaf'»^,
et, par suite, il faudrait avoir
= OU Pa^'»^Qa('»)= o,
ce qui établit, finalement, la propriété c.
Théorème II. — Si en chaque point P, sauf un, au plus, de la droite a, Pa("») est le plan tangent, a^^^a^'^^^^oest la condition nécessaire et suffisante pour que les plans tangents en deux points distincts coïncident,
Dém, — On a, en effet, en développant le produit régressif
Qa<'»^Ra('w)= (Q.Rfl('w))at'«>-f- (Ra('").at'n))Q; mais
car le plan Ra^") contient (n°44, théorème III) la droite a et par suite le point Q; alors
(i) Q«('«^Ra<'«)= (Ra('«^a<'«OQ-
Le produit régressif Ra^"*>.a^'"^ fournit encore
ou
et la formule (i) devient
D'ailleurs, comme QRp^^o, a^"^^a^"*^ est bien la condition nécessaire et suffisante pour que Qa<'"^Ra^'"^z=:o; ce qu'il s'agissait précisément d'établir.
Théorème III. — Si en deux points quelconques, mais distinctSy de la droite a, les plans tangents sont différents, Pa^^^ étant, par exepiple, le plan tangent en l'un d'eux P, et si a est une forme non nulle du troisième ordre qui renferme la
g6 CHAPITRE II.
forme a {aa^=^o), le plan a est langent à la surface réglée au point aa^'"-K
Dém, — (xa^"^Ka^"^^ est le plan langent au point ««<'">,
mais
a^m) a . a^m) — a^m) a^m) ^^^ et a^"^) . a^m)
OU
le théorème II donne at"*>a<'"Jpî^o, c'est-à-dire que
planaa("*^a^'«^= plana,
ce qui démontre le théorème.
Théorème IV, — Lorsque a varie y en conservant les hypothèses du théorème lll^ le faisceau de plans en est projectif aux points de contact de ces plans avec la surface réglée ( les points aa^^^).
Dém. — A deux plans a différents correspondent deux points distincts aa^'"^ et réciproquement : donc la correspondance entre les plans a et les points ora^'"^ est univoque et réciproque.
Posons alors
Pi = j?i -+-71 R, Pj = ^2 H- 72 H.
Le double rapport de la suite de points Q, R, Pj, Pj (qui dépend uniquement de la position des formes Q, R, Pj, P,) est le nombre
QPi HP, ^ riQR x^RQ ^ji-rg RPi QP2 ^iRQjîQR xtx^'
Mais nous savons que
9ia^^^ = XiQa^m^ -h fiRa^^\ V^a^'^^ = x^Pa^^^ -^ jz'Ra^m^
et par suite le double rapport de la suite de plans Qa^^\ Ra^'"\ Pja^'^J, Psat'"^ est encore le même nombre •^-^.
FORMES TARUBLES. 97
46. Surfaces réglées gauches. — Nous dirons que la surface réglée a est une surface gauche réglée lorsque, pour toute valeur de t^ les plans tangents (s'ils existent) en deux points distincts de la droite a, ne coïncident pas, excepté peut-être pour les droites a qui correspondraient à un système de valeurs isolées de t dans Tintervalle considéré ; de telles génératrices seraient alors dites génératrices singulières.
Si nous supposons que Pa' soit le plan tangent en chaque point P d'une génératrice non singulière quelconque, le théorème II du n<» 45 montre que pour toute valeur de /, à laquelle correspond une génératrice non singulière, a'a'^ o, c'est-à-dire que a' n'est pas réductible à un segment ou à un bivecteur, mais est toujours la somme d'un segment et d'un bivecteur. De même, si a est une forme du troisième ordre avec aa 1= o, le théorème III du n° 45 prouve que le plan a louche la surface gauche réglée a au point aa'.
a. Dans le cas où la forme a n'est pas un bivecteur, pour une valeur donnée de t, on appelle plan asymptotique de la surf ace pour la génératrice a le plan tangent à la surface au point à l'infini sur la droite a, c'est-à-dire précisément le plan tangent au point aco. Le plan asymptotique pour la génératrice a est donc le plan a(»i,a' ou le plan a'tù.ay car, puisque aa' = o, on a (page 49)
aisi.à ^= aa' ,tsi — tùa' ,a = — a' tù.a.
Le plan qui passe par la droite a, perpendiculairement au plan asymptotique, est à\l plan central de la surf ace pour la génératrice a\ et son point de contact avec la surface est appelé point central de la génératrice a. Le plan central pour la droite a est donc le plan al(aco.a'w), puisque le plan asymptotique a'(^,a possède la même orientation que le bivecteur a(xi,a'(^\ de même [a|(a(«).a'ûj)]a' est point central de la droite a.
On appelle ligne de striction de la surface gauche réglée a le lieu des points centraux sur les droites a.
b. Si «1 est une génératrice de la surface gauche réglée a, le plan asymptotique pour la droite a est la position limiie
du plan qui passe parla droite a parallèlement à la droite a,, lorsque celle-ci, en variant sur la surface, tend à coïncider avec la droite a.
Posons ai = a(f-h/i); le plan parallèle à «i qui passe par la droite a est le plan a.aico, et en développant «i par la formule de Taylor on a
OÙ g satisfait à lim^ — o; ainsi donc
limplana.rtio) = plan^.a'o),
ce qui démontre la proposition.
Si modPPi représente la plus courte distance entre les deux droites a et ai, le point central pour la droite a est la position limite du point P, lorsque a^ tend vers a en restant sur la surface. En effet, le point Pi n*est autre que le point [a|(aw.aico)]ai; en développant «i par la formule de Taylor et passant à la limite on obtient le point [a\{a(ù,a'(ù)]a' qui est point central pour la droite a.
G. Si b est une forme non nulle du deuxième ordre à invariant nul, on peut aisément démontrer que la droite Va' .b décrit un hyperboloïde ou un paraboloïde de raccordement à la surface tout le long de la droite a, lorsque le point P se déplace sur la génératrice même a. De même, étant
lim ?«'.«! — Va'^a',
la droite Pa'. a'' décrit bien l'hyperboloïde osculateur à la surface tout le long de la droite a.
d. Soient P(^) un point (non à l'infini) et I(^) un vecteur unité; posons a=:PI, la droite a décrit une surface réglée quand t varie dans l'intervalle considéré. Cette surface est gauche si
a' a' = (FI H- PI') (P'I -+-?!') = ^PP'IF ^ o, c'est-à-dire si les vecteurs P', V ne sont pas nuls ni les vec-
FORMES YAKIABLES. 99
leurs P',I, r complanaîres; Pir est alors le plan asymptotique pour la droite PI. V étant perpendiculaire au vecteur I, le point P décrit la ligne de striction de la surface lorsque les vecteurs P', I, |ir sont complanaires et réciproquement.
Supposons maintenant que la ligne P soit ligne de striction de la surface gauche réglée PI : le fait que les vecteurs P', I, ir sont complanaires donne
où hy k sont des nombres réels (X:^o car PP'II' n'est pas nul). Si Q est un point de la droite PI on aura
Q = P + xI
où X est un nombre réel, et puisque Q(PI)' est plan tangent au point Q on peut écrire
Q(Piy = (P-f-jFi)(P'i-hPi')
= {V-^x\) {k\ I ir-h PI') = P(A:I I ir- xIF).
Mais les bivecteurs I |ir, IF ont même module et sont rectangulaires; de sorte que, si Q est Tun des angles formés par le plan tangent en Q avec le plan central, on aura
tang ^ = T>
formule qui est due à Chasles. Le nombre k est appelé paramètre de distribution de la génératrice PI.
47. Surfaces développables. — Nous dirons que la surface réglée a est une surface développable quand pour toute valeur de t les plans tangents, s'ils existent, en chaque point de la droite a, excepté un seul au plus, coïncident avec un plan fixe^ appelé /?/a/i tangent tout du long de la droite a.
Supposons donc que le plan tangent soit Va' en chaque point P d'une génératrice, excepté au point Q : le théorème I du n** 45 prouve que, au point Q, le plan tangent sera Qa", ou Qa"', . . ., à moins encore qu'il ne soit indéterminé : de même, le théorème II du n° 45 est applicable et permet
lOO CHAPITRE II.
d'écrire, pour chaque valeur de ^, a'a'r:=o, c'est-à-dire que a' est un segment ou un bivecteur : la droite a' est d'ailleurs contenue dans le plan Pa', tangent précisément tout le long de la génératrice a, car Pa'.a'^: — Pa'.a'-h a'a'.P, d'où
Pa'.a'=:o.
a. Soient une forme constante, non nulle cependant, du premier ordre, et A(^) une forme non nulle du même ordre; la forme du deuxième ordre OA engendre un cône de sommet 0; dans le cas où le point est à l'infini, la surface OA est encore appelée cylindre. D'autre part, on sait que (OA)'=:OA', c'èst-à-dire (OA)'(OA)'z=o, ce qui prouve que le cône est une surface développable, en même temps que le plan langent au point est indéterminé, car, quel que soit le nombre entier positif Xy on aura (OA)^*^ = . OA^*^ =: o. Le plan tangent tout le long de la droite OA est OAA'.
b. Si, pour chaque valeur de ^, aco^z^o et a.a'w.a^'w^o, on peut énoncer les théorèmes suivants :
Théorème I. — Le plan tangent tout du long de la droite a est atù.dy ou encore le plan a' (ù.a^ identique au premier.
Dém, — On a aci).a'=aa'.co — a' (si, a — - — a'w.a, et comme a,a'ûi) ^o, le plan tangent au point de l'infini aco est précisément le plan aw.a'=:plana'co.a, tandis que le théorème I du n<» 45 implique au plan aco.a' d'être tangent tout le long de la droite a.
Théorème II. — V enveloppe dont les plans sont tangents à la surface a a pour caractéristiques les droites a,
Dém, — En posant a = a'co.a. Nous aurons
a'= a^w.û -f- a'w.rt'= a" iù,a,
car a' est un segment et a'co.a'nzo; il suffit alors d'effectuer le produit régressif olol' pour voir que
aa'= {a!oi,a){a''î3i.a)
= [a'b)(a''tù,a)]a -+- [a{a''w,a)]a(ù = {a,a' vù,a''ii))a^
ce qui démontre le théorème.
FORMES YARIABLES. 101
Définition, — On appelle arête de rebroussement de la sur^ face développable a, la ligne de rebroussement de Tenveloppe de ses pians tangents.
Tbéorème III. — U arête de rebroussement de la surface a peut être considérée comme engendrée par le point a{a' .a" (ù),
Dém. — Soit oi^=^a'(ù,a; on a
^'=atù,a et a" = «"'w.a-hrt'w.a', d*où
aa' ot* = (rtj . û ' o) . a" o)) [a (a"' (0 . a) -h a ( a" 0) . û' )] = (rt . û' o) . a'oi ) a {a! a" . o)) ,
ce qui établit le théorème.
Théorème IV. — Le point de l'arête de rebroussement qui appartient à la droite a est donné par le produit régressif aa' développé sur le plan tangent tout le long de la droite a.
Dém, — En effet, le produit progressif aa' étant nul, les droites a, a' ont un point commun, et ce point est effectivement le point commun à la droite a et au plan a'.a"(ù,
c. SoitP(0 un point tel que PPT'^p^o pour toute valeur de t : comme (PP')'(PP')'=l'P''PP''=o, la droite PP' décrit une surface développable qui admet comme plans tangents, les plans osculateurs PP'P'' à la courbe P, car
(PF.co) (PF)'= FCPP") =— PPT";
celte surface développable PP' est appelée û?^^e/o/?/?aè/eo5cwlatrice de la courbe P.
§ 4. - FORMULES DE FRENET.
48. Arcs. — Soient P(i) un point fonction continue de t] a, b deux valeurs particulières de ty et ^i, t^y ..., t^-i une suite de valeurs telles que «<ii<^j<. . .<^rt-i< 6, ou bien encore « > ^i > ^j >. . .5 ^/j-i > by selon que a ^ 6 ou a ^ 6 : la limite
supérieure de Tensemble des nombres que Ton peut déduire de
(i) modP(û)P(^l)^-modP(^l)P(f2)-+-'..^-modP(^„l)P(^),
en faisant varier la suite ^i, ^2, . . ., t^-u est appelée longueur de l'arc (sur la ligne P) limité par les points P(«), P(^)» et se représente par le signe arcP(a)P(6), La droite limitée aux points P(«), P(^), de longueur modP(a)P(6), est encore dite corde de Tare P(a) P(6).
Dans ces conditions, s'il existe un nombre supérieur à toute valeur de (i), arcP(a) P(6) est un nombre réel bien déterminé, sinon arcP(a) P(è)zi=oo. On a toujours, par exemple,
modP(a)P(^)^arcP(a)P(^) et arcP(û)P(rt) = o.
Théorème I. — Si P{t) est un point, P'(/) une forme (vecteur) fonction continue de t et si, pour une valeur particulière t' de t, on a V (t') y^ o, le rapport d'un arc de la ligne P à sa corde a pour limite l'unité quand les extrémités de l'arc tendent vers le point V (t'),
Dém, — Il résulte des hypothèses et du théorème IV du n° 42 que la tangente à la ligne P en P(^') est la position limite de la droite qui joint deux points quelconques de P lorsque ces deux points tendent à venir coïncider au point P(^'); on peut donc déterminer deux valeurs différentes a et b pour f, telles que a^t'^b et que, de plus, la droite qui joint deux points quelconques de Tare P(a)P(b) fasse avec la droite P(a) P(b) un angle inférieur à un angle donné 9
compris entre o et -•
/o=a, ti, t^y . . ., tn-u ^n== b ayant la signification précédente, si Ton pose P,.=P(i,.) pour r=i 0,1, ...,w, on peut écrire
(P„Po)2=(Pi-Po)|(P„-Po)
+ (P2-P,)|(P„-Po)-h...+ (P„~P„-,)|(P„-Po),
et la division par
mod(P„— Po) = modPoPrt
FORMES TARUBLES. I03
donne
modPoP/i= modPoPi coscpi-f-. . .-h modPrt-iPrtCoiSfrt,
où
(pr= (P,— Pr-i, P,» — Po) pour r = i,2, ...,«;
d*où Ton déduit que
(2) modPoPn= (modPoPi-i-. . .-hmodPrt-iPn)coscp:
9, dans celte formule, représente un angle moyen entre les
angles 91, 92, . . ., 9,1. Il résulte, notamment, de cette équa-
P P lion (2) que le nombre (1) est toujours inférieur à mod-^»
et, par conséquent, arePoP,» est un nombre réel bien déterminé. La formule (2) subsistera donc à la limite supérieure, c'est-à-dire que
modPoP/i = arcPoP» cos<]/,
où ^ est un angle moyen parmi les angles que font avec PoP/i les droites qui joignent deux points quelconques de Tare PoP«. Si nous faisons désormais tendre P(<2) et P(^) vers le point P(^'), 4* tend vers zéro, d*où Ton déduit
,. arcPf«)P(è) ,, I modP(a)P(6) 4, = ocos<^
ce qu'il fallait précisément démontrer.
Théorème II. — -S/P(^) est un point, V (t) un vecteur non nul, fonction continue de t, et si, en outre, a et b sont deux valeurs de t telles que a^b, on a
&ve?{a)?{b)= r modcn:*.
Dém. — En convenant d'indiquer par AarcP(a)P(^) Tincrément de la fonction arcP(a) P(0 lorsque t passe de la valeur ^ à la valeur t-\-hy on aura manifestement
A arc V{a) V{t ) = arcP(r) P(/ -^- //)
= — A TT. / \ 1^ / TT mod[P(/ -+-//) — P(/)],
modP(OP(' -+-/')
Io4 CHAPITRE II.
el, en appliquant le théorème I pour passer simultanément à la limite A =r o,
rfarcP(a)P(0 = modrfP, formule qui démontre le théorème.
49. Soient P(^) un point, P'(^)un vecteur non nul fonction continue de t; par la notation s{t) ou, plus simplement, s, nous représenterons toute fonction de t telle que s -h c reste bien défini par Téquation
(i) ds = moddP,
la constante numérique c ayant été, d'ailleurs, arbitrairement
choisie; cette équation peut encore s'écrire, puisque dt est
positif,
, ,, ds ,dP
(iV -T- = mod-j .
^ ^ dt dt
Nous appellerons alors s Tare de la ligne P et si a, 6(«< b) sont deux valeurs quelconques de t, on a
arcP(«)P(^) = s(b) — s{a).
Nous appellerons encore origine des arcs sur la ligne P le point P(a) pour lequel s{a) =1 o.
Lorsque t varie dans l'intervalle considéré pour tendre vers une valeur ^o> à condition toutefois que limP soit un
t=to
point projectif Po bien déterminé, nous poserons
arc
P(û[)Po= lim f modrfP= lira [s{t) — s{a)].
Exemples. — i" En considérant, en particulier, les coordonnées cartésiennes orthogonales
p =0-+-^I-f-jJ4- zK avec trois fonctions ^, 7, z de t, on a
dP = dxl -h djS -h dzKj
FORMES YAKIÂBLES. 100
d'où
ds = ^dx^ -f- df^ H- dz^^
la formule ordinaire de Géométrie analytique. Si Ton veut encore
cos(éfl>,I)=^, cos(rfP,J)=^, cos(^,K)=^
donnent les cosinus des angles que fait la tangente au point P avec les axes coordonnés.
2« En coordonnées polaires sur le plan, on aurait
P=:0-f-pe'?I
ou
d9 = (c?p -h i'p rfïp)e''?I,
et
ds=z v/</p2-4-p2^(p«.
3^ Le point P = h- e^?e'?I (a ^ o) décrit une spirale logarithmique quand cp varie de — «3 à -f- oo : si l'on prend précisément 9 pour variable indépendante
et donc
modP' = v/n- «^e*»?,
ou encore
ds = ^i-\- a^ e^9 d^.
Si (po et cpi sont deux valeurs particulières de cp
arcP((po)P(cpi) = /i-h cf2 / ea?c?(p= -î^ (6-«?i— e«?o),
et Ton a
lim arcP( <po) P(T> ) = ^^"P* •
Ço = — • û
en prenant donc pour origine des arcs le point asymptotique
de la courbe, on aura, quel que soit 9,
50. Courbure et rayon de courbure. - Soit encore P{/) un point tel que les vecteurs P'(0> P"(0 soient bien déterminés pour toute valeur de /, ainsi que, en outre, P'(0?^o.
Si s représente Tare de la ligne P, nous pouvons considérer P comme fonction de la variable 5, et la formule ds^=. modûfP permet d'obtenir les dérivées de P par rapport
, . d^ d? dt
a 5 en observant que -j- 1= j- -7-.
^ as dt ds
Si nous posons (0 T(.) = f;
T est un vecteur unité parallèle à la tangente de la ligne P au
point P, car -y- = — -r-^ résulte de modP ^o; le vecteur
dï d^V
-r- = -j^ est bien déterminé puisque P'" lui-même Test
aussi, et si T -y- 7^ o, le plan PT -7- est osculateur au point P. En posant
(2) - = mod -j-
p ds
nous appelons courbure de la ligne P au point P le nombre - ;
P l'inverse de la courbure (p) est dit encore rayon de courbure au point P,
Théorème. — Pour que la ligne P soit une ligne droite, il faut et il suffit que la courbure soit nulle en tout point P.
Dém, — En effet, si le point P décrit une ligne droite, P = -+- s\y où est un point fixe de la ligne P et I un vec-
teur unité constant; alors T = I et ^ =10, ce qui entraîne
bien - =o, pour chaque valeur de 5; la condition est donc
nécessaire. Supposons maintenant que l'on ait - =0 pour
toute valeur de s, c'est-à-dire que -j- soit constamment nulle;
il en résultera que T est un vecteur constant; or (iP = T ds, et, par suite, ^(P — 5T)=:o, c'est-à-dire P — .sT = 0, où est un point fixe; la condition énoncée est bien aussi suffisante.
