Si, quel que soit ^, - ^o, nous. poserons
r (3) N(.)=pg:
c'est-à-dire [formule (2)]
dT
, dT
mod
ds
Le vecteur -^ n'étant pas nul, puisque, par hypothèse,
- ^o, N est un vecteur unité tout comme T auquel il est per-
pendiculaire; ainsi donc N, parallèle au plan osculateur au point P, est le vecteur parallèle à la normale principale au point P (*).
En conservant les hypothèses précédentes, on voit que : PT est la tangente, PN la normale principale et PTN le plan osculateur au point P.
Le point Q =:P H-pN, situé sur la normale principale au point P, sera appelé centre de courbure au point P.
Exemple. — 1" En coordonnées cartésiennes orthogonales,
P = 0-f-.rI-hjJ-h3K,
(') Si, pour une valeur de Sy - = o et que le plan osculateur au point P soit
déterminé, le sens seul du vecteur unité parallèle à la normale principale au point P restera indéterminé.
d'où
rf»P dT d^x ^ d^Y ^ d'^z ^-
ds^ ds ds^ ds^ ds^
et
Comme, au reste, -^j ^st parallèle au vecteur N on aura
cos(N,I)=p ^, cos(N,J)=p-^, cos(N,K)=p-^,
égalités qui donnent les cosinus des angles que fait la normale principale avec les axes coordonnés.
Le centre de courbure Q aura de même pour coordonnées X,Y,Z
ds
2« Posons ('=: ^« (Si la variable t figure le temps, v est la
grandeur de la vitesse au point P.) P'=i(^ï et prenons la dérivée par rapport au temps, on a
dl ds pî
ds dt p
OÙ — N est la composante normale du vecteur P'^ (accélé-
ration); si donc l'on pose comp.norm.P''= — N, il vient
réquation
^ ~~ mod comp. norm. V'
qui fournit une construction fort simple du centre de courbure, connaissant les vecteurs P', P''. Par les points P -+- P', V -^V" {fig. 5) menons (dans le plan osculateur en P) des parallèles aux vecteurs N, P' qui se coupent en M; la perpendiculaire à PM issue du point P + P' rencontre la normale
principale PN au centre de courbure Q, et ceci résulte, immédiatement, de la considération des triangles semblables dont les sommets sont les points P, P-hP', Q et P-hP', M, P.
3® Le point P = H- he^^l -h ke-^^l décrit une ellipse dont les demi-diamètres sont h-h k et h — k; alors
d'où
mais
F' = /leifil — ke-i9i\, P" = — //e'?I — ^e-^?I,
et {exemple 2°), pour obtenir le centre de courbure au point P {//^. 6), il suffit de tracer le parallélogramme cir-
Fig. 6.
conscrit à Tellipse et d'effectuer la construction indiquée par la figure.
IfO CHAPITRE II.
4® Pour la cycloïde {voir n® 17) on a de même
V = ri — re-m = iiU — P) , ?"= re-i9il =C — P;
d'où il résulte que le module de la composante normale de P'' est égal à |mod(M — P), et par conséquent,
p = 2mod(M — P),
c'est-à-dire que le centre de courbure Q = P-HpN est tel que P H- Q ~ 2M, et que l'expression du point Q est
Q = M -h(M — P) = -+- rcpl — ril -\- re-^^îL
Si nous indiquons alors par Oi le centre de courbure de la cycloïde au point P (tu) on voit que
Oi = -f- rizl — 2r/I, d'où résulte aisément, pour le point Q,
Q = 0, -h r(cp — Tr)I + ra — re-i'^9-'^Hl,
et Q décrit une cycloïde égale à la cycloïde du point P que l'on peut déduire de cette dernière par une translation dont le vecteur ml — 2 ril donne la grandeur, la direction et le sens.
52. Supposons maintenant que la ligne P soit plane (non droite); le vecteur N est parallèle au vecteur iT et nous pouvons donner à la courbure - un signe tel que Ton ait, pour toute valeur de s,
