T- = -II
' as p
a. Le lieu du centre de courbure de la ligne P est le lieu des caractéristiques de l'enveloppe des normales à cette ligne, car, en posant a = P i T, on voit que
da . I -7- =Tii- PT,
as p
FORMES TARIABLES. III
fJn
et le développement du produit régressif a -7- donne précisément
a^ =PTiT.iT-f--PTtT.P= JL(P-4 p£T), as p 2p^ ^ ^
relation qu'il s'agissait d'établir.
b. Posons a = (I,T) en prenant pour I un vecteur unité lixe du plan de la courbe P; a est une fonction de Sy telle que
dl
ds
ces a
En effet
et
— sina-r- = - liiiT) =^ IT = sina;
donc
doL __ I
ds p
si sina^o; mais, dans le cas où Ton aurait sina = pour une certaine valeur de s, si h est une constante telle que
sin ( a -h // ) ?^ o, on aurait
-^-1 - = -<> ou -j- = - (1).
ds p ds çi
G. Si l'on donne le nombre p en fonction de 5, la ligne P est déterminée, sauf pourtant sa position dans le plan. Soit, en effet, To un vecteur unité constant; posons
on aura
ds p
(*) On arrive au même résultat en considérant l'indicatrice sphérique de la courbe P {'voir n» 55).
qui n*esl autre que la formule (i), et comme
ds ■" ' on a
(3) P = Po-H (^feJ^JdsJTo,
formule dans laquelle Po représente un point arbitraire du plan, et les quadratures sont effectuées à partir d'une valeur déterminée de s. En introduisant Tangle a défini en b, la formule (3) prend la forme
(4) P = Po-h(^ A*'«rf.ATo.
Le lieu du point P passe par Pq où elle admet pour tangente la droite PqTo.
Si, par exemple, p est constant, le point P décrit une circonférence, car, en posant s := pcp, la formule (4) donne
P = P^^fpJe^^df\To=?o-pi(e^9-i)To
et il est manifeste que le point P décrit une circonférence de centre Po4- piTo et de rayon p.
Le lecteur pourra, à titre d'exercice, déterminer Texprersion du point P dans les cas suivants :
Développante de cercle p2 = '^as
Epicycloïde, hypocycloïde, cyeloïde '— -+- j-^ = i
Spirale logarithmique p = a.y
Clotoyde. ps = a^
Tractricc p = a\ e'^ — \
Chaînette p = û-h —
FORMES VARIABLES. Il3
d. En supposant que le point P décrive une courbe gauche, un point quelconque Q de la surface réglée développable décrite par PT a pour expression Q = P 4- mT, où u est une fonction de s. Soit, en outre, Pi(*) un point qui décrit une ligne plane d'arc s et dont la courbure en chaque point est la même que celle de la courbe P au point correspondant. On peut représenter les points de la surface développable PT sur le plan de la ligne Pj en faisant correspondre au point Q
le point
Qi = Pi + «Tn
et comme
modrfQ = modrfQi = 1/ ( n~ ;7- ) ^ — i^^i
la correspondance considérée conserve la grandeur des arcs tracés sur la développable. Nous exprimerons, en général, cette propriété en disant que Ton peut développer la surface PT sur un plan, ou encore en disant plus simplement que la surface PT est développable.
Exemples, — i®'' Si la courbe Pi roule sans glisser sur une autre courbe P, la trajectoire d'un point Q, invariablement lié à Pi, est appelée roulette. Soient donc un point fixe de
Fig. 7.
Ja courbe P {fig. 7), et Qola position de Q quand la courbe Pj louche P au point : si l'on a
arcOP = arcOPi,
nous pouvons considérer les points P et Pi comme fonctions d'une même variable 5, arc commun aux deux courbes. En
Il4 CHAPITRE II.
indiquant par T,, p,, pour Pi, les éléments que nous avons appelés T, p, relativement à P et supposant que le point Pi prenne la position P après roulement d'un angle cp (fonction de 5), on a
(5) T = e^?Ti, Q — P = c'?(Qo-Pi).
Prenons la dérivée de la première égalité; il vient, d'après la formule (i),
iiT= -e'?/TiH-^e'?/T,,
P Pi ds
OU, pour la première des formules (5),
^ ^ p pi as
et Ton retrouve ainsi la formule même due à Savary. Si nous dérivons maintenant la seconde formule (5), il vient
ou
dQ
qui démontre que, dans le cas - ^ — Wa normale au point Q
de la roulette décrite par Q est la droite qui joint le point Q au point de contact de la courbe mobile avec la courbe fixe.
2® Si le point Pi décrit le lieu des centres de courbure de
la courbe P on aura Pi^P -h p^T et que l'on appelle s^ et —
Pt
l'arc et la courbure en Pi de la courbe Pi avec Ti — ^ > nous aurons -^ — 3^^T; si p est une fonction croissante dans l'iu-
FORMES VARIABLES. tlD
tervalle considéré, on a
(i) dsi=:dpf
(2) Ti = £T;
soient donc a et b deux valeurs de 5, (a < ô); la formule (i) donne
qui montre que l'arc Pi{a)Pi(ô) est égal à la différence des rayons de courbure aux points P(a) et P(ô). D'autre part, on peut, des formules (j) et (2), déduire
dï\ dï\ ds i ds r^ i ds .ry,
dsi ~~ ds dsi p ^9 ~' 9^9 '
et, comme dp est positif,
do
3« Soit maintenant a un nombre constant : posons P, = P-haT et P2 = P-hpiT.
On a
et, par suite,
dPi
ds p
(P2-Pi)i5-(piT--aT).(T4-?£T)=p^--rt==o,
relation qui prouve que la normale au point Pi à la ligne Pj passe par le centre de courbure au point correspondant P de la ligne P (*).
(*) De même si le point P décrit une courbe gauche et si Pj=P + aT,
P, = P -f- p N, on a
(P,-P,)|.fP,= o/
ce qui montre que le plan nonnal au point P, passe par le centre de courbure P3 au point P.
Il6 CHAPITRE II.
4^ Soit encore Pi=:P ■+- «jT {Jîg, 8), où «i est une fonc-
Fig. 8.
lion de Tare s du lieu du point P : posons
ai= (T, -^j, M=P-i-p/T, Q,=:P-f-«iCOtaifT.
Comme
dPj ds
ds
on aura
ou
mod-T- ) smai
Wi
mais, si ^i est Tare de la courbe décrite par le point P,, on a
dsi= ( mod
ds
et
dsi —
d'où c^i =
«1 ds
smai p
Ml
siiiai
Q étant l'angle que fait le vecteur T avec un vecteur fixe du plan {voir ce numéro, partie b).
Etant
ds
T=iH — j^y on a
, rfPi \ dux
mod -7- cosaj = iH — r--^
FORMES TARIABLES.
(si «1 est une fonction croissante de s) et, en vertu des formules dont nous venons de faire usage pour déterminer la formule (i), on peut écrire aussi
dui = (ui cotai — p)^ô.
En observant alors que Q, est le point de rencontre de la normale au point P avec la normale en Pi, et que M est le centre de courbure au point P, on a Tinterprétation géomé-
Ui
trique des formules (i), (2), puisque-^ — > aiCota,--p sont
les grandeurs des segments PiQi, MQi- Les formules (i), (2) sont dues à M. Mannheim ( Cours de Géométrie descriptive) au Traité duquel nous renvoyons le lecteur pour les applications.
5® Supposons toujours que a est un nombre constant et posons Pi=P4-aT : quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que le point Pi décrive une ligne droite? Si
— est la courbure au point P,, le lieu du point Pi sera une
ligne droite quand on aura - =0 pour toutes les valeurs de 5.
On peut parvenir à cette condition en utilisant Texpression de ûTTi, mais on trouve plus simplement le résultat en observant que le point Pi décrit une ligne droite quand le vecteur dl^i a une direction constante, c'est-à-dire (voir n** 37h)
quand -^ -jy ~ ^> POur toutes les valeurs de s. Or on a, puisque nous supposons - ;^o.
as p p '
dsç.
p2 ds
ds ds^
dg
TjT
p. + a.«pj
en sorte que le point Pi décrit une ligne droite, quand, pour
Il8 CHAPITRE II.
toute valeur de 5,
do (i) op^ = p2 i a2,
ou bien encore
ds
«0 étant une constante arbitraire non nulle.
Quelle que soit a^y il existe une valeur de s pour laquelle p 1=0, et comme les formules précédentes subsistent à la limite, pour p=^o, si Ton prend pour origine des arcs, le point correspondant à p — o, on trouve précisément a^^^a comme valeur de la constante, de façon que la condition cherchée prenne la forme
La courbe décrite par le point Pi, dont le rayon de courbure est donné par la formule (2), est une tractrice et le lieu de ses centres de courbure est une chaînette; le troisième exemple fournit de plus une construction géométrique très simple de la tractrice, quand la chaînette correspondante est connue, et réciproquement.
Dans une chaînette, appelons o- et - l'arc et la courbure au
point qui est précisément centre de courbure de la tractrice Pj en Pi; le deuxième exemple nous indique que da:=:dp; mais, pour 5 = o, on a p =0, et en supposant simultanément (7 = o, on pourra écrire
Cependant, le même exemple nous donne encore
dû
et la formule (i)
FORMES YARIABLES. II9
expression qui, comparée à la formule (3), donne finalement
relation entre Tare et le rayon de courbure d'une chaînette.
53. Torsion et rayon de torsion. — Si la ligne décrite par le point P n'est pas une ligne droite et que la fonction P satisfasse aux conditions énoncées au n** 51, les vecteurs unités T, N sont déterminés et en posant, pour toute valeur de Sy
le vecteur B ainsi défini est parallèle à la binormale au point P.
En admettant que -j- soit une l'onction bien déterminée
de s, —r- est un vecteur normal au vecteur B; c'est-à-dire parallèle au plan PTN osculateur en P, à moins, toutefois, que ce vecteur -^ ne soit nul; étant donné encore que B |T = o,
on a
ds
p as
T = o (carB|N = o),
et le vecteur -^ est nul ou parallèle au vecteur N.
Nous représenterons par - le nombre réel, positif, négatif ou nul, tel que
' ds z
La valeur absolue du nombre - est alors le module du vec-
teur -j-y et on appelle torsion de la courbe P au point P, le
nombre -> ou bien encore rayon de torsion au point P l'inverse de la torsion.
Théorème. — Pour que la ligne P soit une courbe plane, il faut et il suffit que la torsion soit nulle, quelle que soit la valeur de s,
Dém, — En effet, si la courbe est plane, B est un vecteur perpendiculaire au plan de la courbe et, par conséquent,
-— = o ou - = o ; as T
ce qui montre que la condition énoncée est bien nécessaire.
D'autre part, supposons - =0 pour toute valeur de 5; B est
un vecteur constant, et si, Pq est un point fixe sur la ligne P, on aura
^[(P-Po)|B] = T|B = o;
c'est-à-dire que (P -- Pq) | B est un nombre constant; mais, en faisant tendre P vers Pq, le vecteur P — P© tend vers un vecteur parallèle à T et, par suite, (P — Po) | B =0, ce qui revient à dire que la courbe P est tracée sur le plan Pq | B : la condition est donc bien suffisante.
54. Formules de Frenet. — Relativement aux vecteurs T, N, B dont la signification géométrique est connue, nous avons les formules
(3) T = |NB, N = |BT, B = |TN,
qui expriment que T, N, B sont des vecteurs unités (i), perpendiculaires entre eux deux à deux (2); le tri vecteur TNB est d'ailleurs positif et égal à \(ù, et comme nous supposons
FORMES TARIABLES.
implicitement
pour définir le signe T, il vient
dï ds
d^ ds
dS ds
Les deux premières de ces formules sont déjà connues [n° 51, formule (3) et n° 53, formule (2)] et pour démontrer la troisième, il suffit de considérer l'expression N = | BT, d'où Ton déduit immédiatement que
ds
BN
En représentant par I, J, K trois vecteurs unités rectangu laires, on peut écrire, en partant des formules (4),
|cos(T,I) |cos(T,J) |cos(T,K)
-cos(N, I), P
-cos(N, J), P
icos(N,K),
ds
cos(B, I) = -cos(N, I),
-cos(T, I) P
-cos(B,I),
(*) Les équations linéaires (4) montrent qu'une courbe est déterminée à la position près, quand on possède^ en fonction de Tare, les expressions de la courbure et de la torsion - et -• En effet, en prenant deux vecteurs unités rectan-
car, par exemple,
dT
ou
;5(T|I)-pi(NI).
Les formules (4), connues sous la forme (5), sont dues à Frenel, bien que souvent appelées /or/ww/e^ de Serret.
55. Indicatrice sphérique et angle de contingence. — Soient I(^) un vecteur unité à dérivée non nulle dans l'intervalle considéré et un point fixe; si Ton pose
le point Q décrit sur la surface sphérique de centre avec Tunité pour rayon une courbe Q dite indicatrice sphérique du vecteur I; dans le cas particulier où le vecteur lest parallèle à un plan fixe, la courbe Q est un arc de cercle maximum sur la sphère. Si l'on représente par 9 l'arc décrit par le point Q, on aura
(i) d^ = modd?.
Si T, N, B sont les vecteurs déjà considérés relativement à la courbe P, et si nous posons d'une manière analogue
Qi = 0-f-T, Qj = 0-hB, Q3=-0-hN,
les points Qi, Qj, Q3 décriront, respectivement, les indicatrices sphériques de la tangente, de la binormale et de la normale principale de la courbe P, courbes dont les arcs 91, 92> 93» en vertu de la formule (1) et des formules de Frenel,
gulaires T<, et N^ et posant B„ = |ToN(„ on peut exprimer T, N, B en fonction des constantes T^, N^, Bq, par des développements en séries convergentes [voir G. Peano, Integrazione per série délie equazioni differenziali lineari ( j4tti
Ace, Torino, 1887 )] : donc, si ?„ est un point fixe, on a P = Pg+ JTds et
la courbe P est déterminée, à la position près; elle passe par le point P^^ et les droites Po T^^, PoN^,, P© B^ sont respectivement la tangente, la normale principale et la binormale en ce point.
FORMES TàRIABLES. 123
sont donnés par les équations
dont les deux premières fournissent une interprétation géométrique de la courbure et du module de la torsion au moyen des indicatrices sphériques de tangentes et de binormales à la courbe P. Pour plus de symétrie encore, nous dirons que
- et - sont la première et la deuxième courbure de la courbe
P au point P, ce qui nous conduit naturellement à désigner par Y la troisième courbure (ou courbure normale) en posant
avec le choix du signe h- devant le radical. La dernière des trois formules précédentes exprime alors que Tare élémentaire de l'indicatrice sphérique des normales principales au point correspondant du point P est égal au produit par ds de la troisième courbure en P.
Mais revenons un instant au vecteur I pour appeler aussi d(^ Yangle de contingence du vecteur I, ce que Ton exprime habituellement en disant que le vecteur I fait Tangle dcs^ avec le vecteur infiniment voisin I(^ -\- dt); au reste, la signification exacte de ces mots n'est autre que celle qui est exprimée par la formule (i) et Tinterprétation géométrique est fournie par rindicatrice sphérique du vecteur I. Si, en particulier, le vecteur I est parallèle à un plan fixe, dcp représente Tangle formé par dl avec un vecteur fixe du plan.
Nous dirons que Tangle de contingence du vecteur J(^), supposé différent de zéro, ainsi que sa dérivée, dans Tintervalle considéré, est l'angle de contingence du vecteur unité
