HÉLICE
56. Si le point P décrit une courbe plane, le vecteur B, parallèle à la binormale, est toujours perpendiculaire au plan de
(') Notre but n'est pas d'étudier les points singulaires; avec les restrictions que nous venons d'énoncer, nous excluons, au juste, les points singuliers sur la courbe P.
la courbe et, par conséquent, la droite PB décrit une surface cylindrique dont la courbe P est une section droite; un point quelconque Pi de la surface cylindrique engendrée par la droite PB est donné par la relation Pi=:P + mB. Les nombres s, w, qui déterminent la position de Pi sur la surface, sont appelés coordonnées de Pi en prenant la courbe P ellemême comme axe coordonné et le point Pq (^0 = 0) pour origine des coordonnées : le nombres est \ abscisse et le nombre u Yordonnée du point Pi; en particulier, si u est une fonction de Sy le point Pi décrit une courbe sur la surface cylindrique lorsque s varie.
En considérant un système plan de coordonnées cartésiennes rectangulaires, nous pouvons, au point Pi du cylindre,, faire correspondre le point du plan dont les coordonnées sont 5 et w et réciproquement; et le fait qu'une semblable correspondance est établie peut s'exprimer en disant que Ton développe la surface cylindrique sur le plan (^).
57. On appelle hélice toute courbe tracée sur un cylindre et coupant sous un angle constant les génératrices de ce cylindre, sauf les cas très particuliers où cet angle est nul ou
égala -; le développement du cylindre sur un plan trans-
forme alors une hélice en une droite.
Théorème I. — L'ordonnée d*un point quelconque d'une hélice tracée sur le cylindre PB est proportionnelle à son abscisse; réciproquement, toute courbe tracée sur le cj-
(') Soient un point fixe et l{t) un vecteur unité dont la dérivée n'est pas. nulle; un point quelconque P de la surface conique engeindrée de la droite 01 est donné par la relation P = -f- mI, et si m est une fonction de r, le point P décrit une courbe sur la surface conique lorsque t varie. Si 0, est un point fixe et J un vecteur unité constant d'un plan fixe, en posant
P, = Oj-f-ttc'îJ avec û?<p = moàdl [uoir n*» 55),
nous représentons le cône 01 sur le plan fixe, et, comme pour le cylindre, nous disons qu'on développe le cône sur le plan, car
mod</P = modrfP, = \/du'-+- {u mod^l)".
lindre PB est une hélice si V ordonnée d'un point quelconque est proportionnelle à son abscisse.
Dém. — Nous avons dit que, si u est fonction de s, le point
p, = P-+-wB
décrit une ligne sur le cylindre; en prenant la dérivée des deux membres de cette équation, dans laquelle B figure un vecteur constant, il vient
îl^ = T-+-— B.
ds \ds
Si 9 est Tangle constant sous lequel la courbe P, coupe les génératrices du cylindre
mod(ûrt>,)B modBT , ds
ou
du = cet çp ds.
En supposant, à Torigine, 5=0, que le point Pi coïncide avec le point Po, on aura l'équation
u = f cotcp,
qui montre bien que Tordonnée (u) est proportionnelle à Tabscisse (s) en tout point de Thélice décrite par P^.
Réciproquement, si uzzzas (a^o), le point Pj décrira une courbe qui coupe les génératrices sous un angle dont la cotangente est a, c'est-à-dire le point Pi décrira précisément une hélice.
Remarque. — Soit Pi un point de l'hélice qui coupe sous l'angle constant 9 les génératrices du cylindre PB; on a
(i) P, = P-f-fcotcpB,
d'où
(2) -2ri = T + cot<pB;
mais, en appelant ^, Tare de la courbe Pi,
dsi = mod<iPi = /i + cot*cp ds et
(3) ds = sincprf^i,
on a 5 = ^isin9, qui permet de construire 5^, étant donnés
s et 9.
Théorème II. — En tout point de V hélice Pj, le rapport entre la courbure et la torsion est constant, et réciproquement si, en chaque point d'une courbe, le rapport de ta courbure à la torsion est constant y cette courbe est une hélice,
Dém, — On a, en effet,
T ^ ^Pj ^ efPi ds . * ds' ds ds\^
et, en vertu des formules (2), (3),
(4) Ti = sincpT-i-cos<pB;
dix sincp^T * > ^1 sin^cp ^ . ^ , .
or, —j^ — — ^ N entraîne -~ = ^ > et si pi est le rayon de
' a^y p ds\ ^ ^
courbure au point Pi,
(5) pi — ■ . ^ ; comme Ni=N.
^ ^ ^ sm2(p
Pour le vecteur Bi, on a
Bi = i TiNi = I (sincpT + coscpB)N = sincp | TN -f- coscp \ BN, d'où
(6) Bj = sincp B — coscpT.
Or la dérivée de Bi par rapport à ^i est
flgBi
dsi p
sincp CCS cp^
et, tenant compte de la définition de — et de la seconde des formules (5), il vient
sin <p CCS <p
Pi__
formule qui, comparée à (5), prouve bien que — = -cot<p,
c'est-à-dire que le rapport de Ja courbure à la torsion est constant en tout point Pi de la courbe Pi.
Réciproquement, si pour chaque point d'une courbe Pi
Pi
^~=z a (a constant),
les deux premières formules de Frenet donnent
^1 fl?Bi ds\ ds\
c'est-à-dire
aTi — Bi = K,
où K est un vecteur constant bien déterminé, de module V^iH-a*; on en déduit K|Ti = a, qui exprime la constance de l'angle (Ti,K) et, par suite, que la courbe Pj est une hélice tracée sur le cylindre décrit par la droite Pi K.
Théorème III. — En tout point Pi d'une hélice tracée sur le cylindre PB, la binormale est normale au cylindre en Pi et réciproquement, si en chaque point d'une courbe Pi du cylindre PB la binormale est normale au cylindre en P,, cette courbe Pi est une hélice.
Dém. — Si la courbe Pi est une hélice du cylindre PB, la normale Pi Ni au point Pi est parallèle au vecteur N, c'està-dire perpendiculaire au plan tangent au cylindre en Pj.
Réciproquement, si en chaque point Pi d'une courbe Pi tracée sur le cylindre, le vecteur N, est parallèle à la normale au cylindre en Pj, il sera perpendiculaire à B, c'est-à-dire
Ni I B = o, ou — Ni I B = o, ou, en vertu de la première for-
ri
B = o; maisj5-(Ti|B) = ^^
mule de Frenet, *
ds\ B.-F.
dsx ^ ' dsx
B, donc
l3o CHAPITRE III.
Ti I B = const., c'est-à-dire que le vecteur Ti fait précisément un angle constant avec le vecteur B, ou bien encore que la courbe Pi est une hélice puisqu'elle coupe les génératrices du cylindre sous un angle constant.
58. L'hélice considérée est dite ordinaire ou circulaire quand le cylindre sur lequel elle est tracée est de révolution.
Théorème. — L'hélice ordinaire est la seule courbe gauche à courbure et à torsion constantes (Théorème de Puiseux).
Dém. — Si le point P décrit un cercle, p est constant et les formules (5), (7) du numéro précédent montrent bien que V hélice ordinaire est une courbe gauche dont la courbure et la torsion sont constantes.
Réciproquement, si pi et tj sont constants pour une
courbe Pi, le rapport ^ sera également constant et le point Pj
décrit une hélice; la formule (5) donne alors p = const., c'est-à-dire {voir n^ 52 c) que le point P décrit un cercle, et l'hélice Pi est une hélice ordinaire.
a. Soient un point fixe, I un vecteur unité fixe d'un plan donné et r un nombre constant. Si P = 4-re'^I, la droite PB décrit un cylindre de révolution ayant pour axe la droite OB, pour section droite un cercle de centre et de rayon /*. Étant s=: rOy le point
Pi = -f- re^^l -t- r6 cotçB
décrit une hélice ordinaire.
Les points Pi(o), P,(27r) (où 9 est la variable* indépendante) sont situés sur la génératrice du cylindre qui passe au point Pi(o), et leur distance est appelée pas de l'hélice; or nous avons
P,(o) = 4-rl,
Pi(aTT) = -+- ri -4-27rrcotf B,
et
modPi(o)Pi(27r) = db 27rrcotcp,
APPLICATIONS. l3l
selon que cp < - ou 9 > -• Le nombre zb r C0I9 est dit pas réduit et on Tobtient en divisant le pas par 2tt.
b. La dérivée de Pj par rapport à
P'j = re'^iH-r cottpB
donne une construction fort simple de la tangente au point Pi en faisant usage du pas réduit dt r cot9.
G. La droite PiP^ décrit une surface développable qu'on
appelle hélicoïde développable ordinaire; si a est un nombre
constant,
P2=Pi-haP;
décrit une courbe tracée sur la surface hélicoïdale PiPj et, étant d sa distance à la droite OB, on a
- mod(OB).c? = modPaOB, ou d = amodPîOB.
Mais
P2OB = PiOB -+- aV\ OB = rOB(e'Ol) -+- arO^{e^il),
donc
Le point Pj décrit par conséquent une courbe tracée sur un cylindre de révolution d*axe OB et pour lequel le rayon de la
section droite est r\/i -h a*. On a
P'j = p; + aPÎ;
mais Pi I B = r cot9, P\ | B = o, par suite
P'2|B = rcot«p, •
c'est-à-dire que le point P2 décrit une hélice.
Le pas de Thélice du point P2 est le module du vecteur Pj(27r) — Pî(o) et, puisque
l32 CHAPITRE III.
on a
P2(2^)~P,(0) = Pi(27u)~P,(0),
ce qui prouve Tégalité de pas des hélices décrites par P^ etP,.
d. Si Ton pose Q = H-(aH- r0cotcp)B, la droite QP, décrit un hélicoïde gauche ordinaire dont la droite OB est la ligne de striction; il est à plan directeur si a = o, et à cône directeur si a^o.
D'autre part, Pi — Q =: /-e'H — aB ou modQPi = v/r*+ a-, et le point Pj = Q + 6 ( Pj — Q ), où 6 est un nombre constant, décrit une hélice tracée sur un cylindre d*axe OB et dont le pas est égal à celui de Thélice décrite par le point Pi.
