Surface polaire. — Posons

a = PNB,

et prenons la dérivée (formules de Frenet)

^"^ - TNB P /'^ T + ' b") B -f- ^ PW

ou

J = i(P-HpN)BT.

APPLICATIONS. l33

c'est-à-dire que le plan -j- est parallèle au plan rectifiant

en P.

La caractéristique de l'enveloppe a dans le plan a, ou la génératrice de la surface polaire qui correspond au point P,

est la droite a^> ou bien encore, d'après la formule (i), la

droite (PH-pN)B.

Donc :

La génératrice de la surface polaire^ qui correspond au point P, passe par le centre de courbure P + pN, parallèlement à la binormale.

Pour déterminer l'arête de rebroussement de la surface

polaire, on peut considérer cette surface comme engendrée

par la droite

a = (P4-pN)B

et développer, sur le plan PNB, le produit régressif ci-^-'y or

$BN

J = i(P + pN)N+(T-T-^B+ Jn)b = ^PNet, si la courbe P est gauche (- ^ o

as T \ ds I

la droite -j- est ainsi parallèle à la normale principale au point P, sa distance à la droite PN est — t^> et, par conséquent, le point P + pN — T^B est commun aux droites a et -i-> c'est-à-dire que V arête de rebroussement de la surface polaire est décrite par le point P-hpN — "^^^^

a. Si la courbe P est plane, la surface polaire est un cylindre; la section droite est le lieu des centres de courbure P -H pN de la courbe P.

l34 CHAPITRE III.

b. La sphère de centre P + pN — t^B, qui passe par le

point P, est appelée sphère osculatrice de la courbe P au point P : c'est la position limite de la sphère déterminée par quatre points de la courbe qui tendent vers P. Le cercle de centre P + pN (centre de courbure) qui passe par le point P est appelé, par analogie, cercle oscuèateur de la courbe P au point P.

G. Nous dirons que la courbe P est une courbe sphérique quand elle est tracée sur une sphère. Pour que la courbe P soit une courbe sphérique, il est nécessaire et suffisant que

le point P+pN — T^B soit un point fixe, condition que Ton peut écrire

^(p-.PN-4b)=o,

OU, d'une manière équivalente,

^ / rfp\

ds\dsl~~