Surface rectifiante. — Posons
a = PBT;
les formules de Frenet donnent
J=-J^P(pTN-HxNB).
La droite a -j- est la génératrice de la rectifiante qui cor-
respond au point P, situé d'ailleurs dans les plans a, ^> c'està-dire que la surface rectifiante contient la courbe P.
Pour déterminer une forme du deuxième ordre dont la position décrive la surface rectifiante, il suffit alors de détermi-
d% ner le produit régressif des bivecteurs des formes a, — ^;
ces bivecteurs BT, pTN 4- tNA sont tels que
BT(pTN-i-TNB) = TNB(pT — tB),
APPLICATIONS. l35
et si a est une forme du deuxième ordre qui engendre la rectifiante, on peut poser
a = P(pT — xB).
Le déterminant
P -^ rfp d-z ds ds
s'annule quand - est une constante et, réciproquement, si les
conditions que nous avons imposées à p et t sont satisfaites.
Nous aurons (pT— tB) ^ (pT— tB)=: — ôTB, et puisque la
condition (pT— rB)^(pT— tB)=:o, ou 5=o, ou ^ = const.,
quel que soit s, exprime que la direction du vecteur pT — tB est constante :
L'hélice est la seule courbe gauche ayant un cylindre pour surface rectifiante.
En développant le produit régressif a ^> sur le plan PBT,
on obtient une forme du premier ordre de la même position
que la forme
T(pT — tB)h-8P,
et, par conséquent.
Si pour toute valeur de s, 5 ^ o, l'arête de rebroussement de la surface rectifiante est décrite par lepointV -\-^T — y B.
Soit encore 9 Tangle du vecteur T et de la génératrice de la rectifiante, parallèle au vecteur pT — tB, qui passe en P, on a
tangcp =d: -, P
d'où
(0 • d^=±-—-ds.
l36 CHAPITRE III.
et si 4* est l'angle de contingence du vecteur pT — tB,
mod(pT-TB)^(pT-TB) ^
(2) d'^ = p , , ^ — '■ jrrrz ds = —- -ds,
^ ' ^ [mod(pT — tB)]2 p5! . -î
En développant la surface rectifiante sur un plan, l'angle 9 ne change point et 4* devient l'angle que fait avec une droite fixe du plan la transformée de la génératrice; mais les formules (1), (2) donnent J^ =— ^? ou 4 =P ? = const. Donc :
La courbe P se transforme en une droite en développant la surface rectifiante sur un plan (*). (Théorème de Lancret.)
