PN
il vient
^ = TN -H P^ =- ipT- ipB -t- TN, ds ds p z
et, par suite,
^^ = ,TNP^=-?PTNB:
ds ds ds T
La surface des normales principales d'une courbe gauche est une surface gauche réglée et réciproquement.
Le plan tangent de la surface des normales au point P est le plan P ^ = plan PTN ; par conséquent :
Le plan osculateur en V à la courbe P est tangent à la surface des normales au point P, ou, en d'autres termes, la développable osculatrice de la courbe P et la surface des normales principales se raccordent tout le long de la courbe P.
(») En effet, si le point P décrit une ligne plane, le point P,= Ph-mT décrira une ligne droite quand le vecteur rfP, fait un angle constant 6, avec un vecteur fixe I du plan (n» 52, b et n*> 50); or si 6 est l'angle que fait T avec 1 et a l'angle de T avec <iP,, la condition «i6, = o équivaut à ^6 =:± da.
APPLICATIONS. l37
De même, puisque le plan tangent à la surface des normales au centre de courbure P h- pN est
(P-hpN)^ = plan PNB:
La surface des normales et la surface polaire se raccordent suivant le lieu du centre de courbure de la courbe P.
Le plan asymptotique pour la génératrice a n*est autre que da
ds
da II -=-(o= T B,
ds p T
le plana.;7--t»; or
donc
da
a,-j- bi
ds
= p(iTN-iNB);
le bivecteur de la forme «.-y-w est ainsi -TN NB, dont
as p T
l'index est le vecteur - B T, parallèle au vecteur pT — tB.
Par conséquent :
Le plan asymptotique pour la génératrice de la surf ace des normales qui passe en P est perpendiculaire à la génératrice de la surface rectifiante qui passe par le même point P.
Comme le point central de la génératrice a est
ri/ da Wda si Ton développe le produit progressif et régressif
il vient :
La ligne de striction de la surf ace des normales peut être considérée comme décrite par le point P H N, pour lequel
r =i/-^ -i- ~ est l'expression de la courbure normale.
l38 CHAPITRE Ilf.
Si nous posons Pj ==: P h N, on a
as \ds p / 'c \P '^ J
ds
OU bien encore
^1 fd Xî\^, Xî ds
donc {voir n** 46, d) :
\ds p J T
N — , ds
Le paramètre de distribution de la génératrice PN e5^ le nombre — •
