Surface des binormales. — Si nous posons
il vient
et, par suite,
et :
ds T
La surface des binormales d'une courbe gauche est une surface gauche réglée, et réciproquement.
Puisque, d'ailleurs, le plan P^=planPTB est tangent en P à la surface des binormales, on peut encore dire :
La surface des binormales et la surface rectifiante d'une courbe P se raccordent suivant la courbe P.
Le plan asymptotique pour la génératrice a est
plan «. ^ w = plan PB /^ i N ") = plan PNB, ' et, par suite :
Les plans asymptotiques de la surface des binormales sont
APPLICATIONS. r39
plans normaux de la courbe P, ou, en d'autres termes, la surface des hinormales et la surface polaire se raccordent tout le long de leurs courbes à Cinfinù
Le plan PBT étant encore perpendiculaire au plan PNB, on a:
La ligne de striction de la surface des binormales est précisément la courbe P.
Etant
on a que ,
ds
ds
Le paramètre de distribution de la génératrice PB est le nombre t.
63. Surfaces réglées gauches dont la ligne de striction est donnée. — La surface des binormales de la courbe gauche P n'est pas la seule surface gauche réglée, admettant la courbe P pour ligne de striction, et nous allons à présent nous proposer de déterminer toutes les surfaces gauches réglées, dont la courbe P soit précisément ligne de striction.
Soit, à cet effet, U(5) un vecteur unité, encore indéterminé, tel que la surface gauche PU admette la courbe P pour ligne de striction; nous aurons
5(PU)^^(PU) = PTuf,
et la surface engendrée par la droite PU sera gauche si pour toute valeur de s
