TT
c'est-à-dire si U n'est pas constant et que le vecteur -^ ne
soit pas complanaire avec les vecteurs T et U. Dans ces conditions, le point central sur la droite PU est, en vertu du
l4o CHAPITRE III.
n° 46, la position de la forme
(p„,Bf)(™.pf) = (p„f|uf)p-(pTO,uS)u,
c'esl-à-dire que la ligne de striction de la surface PU sera la courbe P si l'on a, pour chaque valeur de s,
(0 TU|uf = o, et Uf
La seconde de ces conditions est toujours vérifiée si la dérivée de U diffère de zéro, mais la première exige que le
vecteur -^ ne soit pas complanaire avec les vecteurs T, U.
Par conséquent :
Toutes les surfaces gauches réglées dont la ligne de strietion est la courbe P sont engendrées par une droite PU, oà U est un vecteur unité, à dérivée non nulle, non parallèle au vecteur T et défini par V équation différentielle
(2) TU|U^ = o.
Si donc nous posons
U = xT+jrN-hzB,
où x^ j, z sont des fonctions de s telles que 0?*+ r^H- 2''= i,
un calcul fort simple prouve que la condition (2) équivaut à
la suivante :
dx \
ds ~ p
Si l'on suppose alors connu 7, par exemple, en fonction de SyX se trouve déterminée; si ^2-i-y*<i, 5 en résulte également, et le vecteur U est aussi bien déterminé.
Supposons maintenant que l'on ait j = o pour chaque valeur de 5; ^ et 5 sont alors des constantes absolues, et l'on a :
Chaque droite fixe du plan rectifiant au point P, qui, en passant par P, ne coïncide pas avec la tangente en ce point,
APPLICATIONS. l4l
décrit une surface gauche réglée, pour laquelle la courbe P est ligne de striction.
64. Surface réglée développable décrite par une droite dont la position est fixe par rapport au tétraèdre PTNB. — Si nous posons
(i) a = xVÏ -h/PN 4- 5PB 4- «NB h- pBT 4- (vTN,
où Xy y, z, u, ç, w sont des nombres constants, tels que
(2) UJC -+- Vjr -h WZ = Of
il est clair que la droite a (s) possède une position fixe par rapport aux droites PT, PN, PB; dans ces conditions
da
= __ ZpT-H f f -+- î'jPN- =^ PB
rNB+(^ + ^-3')BT+(r-^)TN;
- NB -h ( - H —
et la droite a décrit une surface développable quand
da da
ds ds '
c'est-à-dire lorsque
où, d'après la formule (2), quand
,^, (VZ UX UZ -h W.T xz r*-i-3'
' p* p2 pT p T
S'il n'existe pas entre - et - de relation à coefficients con-
stants, la droite a ne pourra décrire une surface développable que sij=:-s=:M = wP' = o, c'est-à-dire seulement quand
(4) « = (P-4-/iB)T,
où h est un nombre constant, d'ailleurs quelconque. La
droite a est alors sur le plan rectifiant au point P, et parallèle à la tangente en P; la formule (4) donne
da
= i(P-h/iB)N-i-^NT= I^P + ^B-Z^ÊtW,
et le point d'intersection des droites a et --t- est
Pi = P-i-^B — ^£t=:P— -(pT-TB)
c'est-à-dire que la ligne de rebroussement de la surface réglée a est décrite par un point de la génératrice de la rectifiante qui renferme P.
Enfin s'il existait une relation à coefficients constants entre
les nombres - et -> relation de la forme (3), il peut exister
des droites a autres que celles qui vérifient Téquation (4) pour décrire une surface développable. En suivant la méthode que nous venons d'indiquer, le lecteur déterminera aisément ces droites pour retrouver les résultats déjà obtenus par M. Cesaro (*).
