TRAJECTOIRES ORTHOGONALES

65. Trajectoires orthogonales des génératrices d'une surface réglée. — Une courbe, tracée sur une surface réglée qui coupe à angle droit les génératrices de la surface, est dite trajectoire orthogonale des génératrices de la surface.

Nous pouvons considérer, en général, une surface réglée comme engendrée par une droite PK, où V{s) et K(5) figurent respectivement un point et un vecteur unité ; une courbe quelconque tracée sur la surface PK est alors décrite par le

point

p; = P4-ttK,

en admettant que u soit fonction de s. Nous allons donc nous

(') Lezioni di Geometria intrinseca. Napoli; 1896.

proposer de déterminer w, en sorte que P, décrive une trajectoire orthogonale des droites PK; pour ce, il faut et il suffit que

et, en vertu de

as ds ds

cette condition devient

d'où

u = - f(T\K)ds,

que Ton peut écrire, d'une façon équivalente,

u = — fcos{T,K) ds.

Si donc on prend 51=1:0 pour limite de l'intégrale, on voit que toutes les trajectoires orthogonales des génératrices de la surface PK sont décrites par les points

Pi = P

r r{T\K)ds-\-J\K,

où c est une constante arbitraire.

Si maintenant la courbe P est supposée être une trajectoire orthogonale, on a ï|K^o, ainsi que Pi=iP — cK, ce qui montre que :

La distance est constante entre les points de deux trajectoires orthogonales situés sur une même génératrice,

66. Développantes. — On appelle développante de la courbe P une trajectoire orthogonale de la développable osculatrice de cette courbe. On obtiendra donc le point Pi qui décrit une développante de la courbe P en posant K=:T, dans la dernière formule du n° 65; et il vient ainsi

Pi = P — (^-t-c)T;

l44 CHAPITRE III.

on aura donc

ds p '

d'où :

La tangente en P, d'une développante de la courbe P est parallèle à la normale principale au point P correspondant .

Étant

tw* \ds p / p2 pT

on en déduit

La binormale en Pj d'une développante de la courbe P est parallèle à la génératrice de la rectifiante qui passe au point P correspondant,

La courbe Pi ne peut être plane que si la direction du vecteur Bj est constante, c'est-à-dire (proposition précédente) quand la surface rectifiante de la courbe P est un cylindre. Donc :

L'hélice est la seule courbe gauche dont toutes les développantes soient des courbes planes.

Et:

Chaque développante d'une hélice est placée dans un plan normal aux génératrices du cylindre sur lequel l'hélice est tracée^ et est une développante de la section normale même du cylindre faite par ce plan.

Le plan normal au point Pj est le plan

Pi donc :

as p p

Chaque développante de la courbe P, a la surface polaire

APPLICATIONS. l45

coïncidant avec la surface rectifiante de la courbe P; ou bien, le lieu des centres des sphères osculatrices d'une développante quelconque de la courbe P est l'arête de rebroussement de la surface rectifiante de P.

Toutes les courbes Pi dont la surface polaire coïncide avec la surface rectifiante de la courbe P sont décrites par le point

Pi =P-i-a:B-4-^T, d^

tel que le vecteur -~ est parallèle au vecteur N (*); par suite, les nombres œ, /, fonction de s, sont soumis aux con-

(*) En général, on peut résoudre la question suivante : Quelles sont les courbes P,(j) telles qiCune des droites P,T,, PjN,, P,B, est parallèle à une des droites PT, PN, PB? Pour toutes les valeurs de j, on a

</P (i) T,N = o quand — — ? = «N;

(2) B,N = o quand ^ == «x/^- B — -Tj;

(3) N,T = o quand — j-* = «(coscpN + sinspB) avec d^ = —;

(4) N,B = o quand -j-^ = m ( cos <p T -h sin cp N ) avec d^ = ;

( 5 ) N, N = G quand —r^ = m ( cos 9 B -+- sin <p T ) avec rf(p = o ;

(6) T,T = o ou bien B,B=o, quand ^'=mT;

(7) T,B = ou bien B,T = o, quand -3-* = mB,

u étant une fonction arbitraire de 5.

On exprime aisément, pour les courbes (i)-(7), les vecteurs T,, N,, B, et les nombres p,, t^ en fonction des vecteurs T, N, B et des nombres p, t, \ «, et Ton obtient des propriétés bien importantes.

Parmi les courbes (i)-(7) sont comprises celles qui ont une des surfaces P,N,B,, P,B,T„ P,T,N„ coïncidant avec une des surfaces PNB, PBT, PTN, ou une des surfaces P^T,, P^N^, P,B^ coïncidant avec une des surfaces PT, PN, PB. Le lecteur peut, à titre d'exercice, retrouver les développantes ^ les développées, les courbes de M, Bertrand^ etc.

ditions

dx dr

ds ds '

qui donnent

a et 6 étant des constantes.

On obtient aisément les courbes (i), étant connues les développantes de P.

Si Qi=:P-f- «iB — (5H-Ci)T, si /w, n sont des nombres et m H- /i 7^ o, on a

et le point ^^— ^ — ^^ décrit une courbe (i).

67. Développées. — Inversement, nous dirons que la courbe Pi est une des développées de la courbe P, si P est une des développantes de Pi; nous allons nous proposer de déterminer toutes les développées d'une courbe donnée P.

Si, à cet effet, K représente un vecteur unité fonction de 5, la droite PK ne décrira une surface développable que dans le

cas où

rf(PK)rf(PK) ^^p^^rfK^^

ds ds ds ^

c'est-à-dire quand

(0 TKf=o

pour chaque valeur de s.

Si K vérifie la condition (i) sans être constant, Tarête Pi de rebroussement de la surface PK sera une développée de la courbe P lorsque K sera parallèle au plan PNB (car la courbe P doit être une trajectoire orthogonale des génératrices de la

dYi surface PK), et le vecteur -^j parallèle à la normale princi-

APPLICATIONS. l47

pale au point Pj, sera parallèle au vecteur T (car la tangente en P à la développante est parallèle à la normale principale au point Pj de la développée); nous pourrons donc déterminer le vecteur K, en choisissant un nombre 9 tel que

(2) K = coscpN -hsinçB,

et que -j- soit un vecteur parallèle à T.

Étant donné

(^> -S=--7^T+^-- j;j(sm<fN-C08cpB),

9 reste déterminé par Téquation différentielle

(3) ^?=$' ou

en introduisant une constante arbitraire (po; d'ailleurs l'arête de rebroussement de la surface PK peut se déterminer par

:^(PK) = TK-?2!?pr,

PK.^(PK)=PTKCK + !^^Py,

donc lorsque le point Pj décrit une^ développée de la courbe P, on a

Pi = P-+- -P-K, cos©

et, d'après la formule (2),

(4) Pi = P -1- pN +■ p tangçB,

où 9 est précisément le nombre fourni par la formule (3)'. Comme la droite (P-+-pN)B engendre la surface polaire de la courbe P, la formule (4) exprime que :

l4B CHAPITRE III.

Les développées de la courbe P sont situées sur la surface polaire de P.

Dans le cas - =o, pour toutes les valeurs de 5, la courbe P

est plane,

Pi = P-h pN-4- p tang©oB,

et Tune des développées de P est la courbe décrite par le point P -h pN, c'est-à-dire la courbe enveloppe des normales à la courbe P; les autres développées sont encore des courbes gauches tracées sur le cylindre dont la section droite estpré-

^P cisément le lieu du point P -h pN; d'autre part, ~ est parallèle au vecteur K et l'angle (-^'Bj doit être constant; donc :

Une courbe plane a une seule développée plane et une infinité de développées gauches qui sont des hélices tracées sur le cylindre dont la section droite est précisément cette développée plane,

La formule (3) montre aussi que t/9 est l'angle de contingence du vecteur B et dans le développement de la surface polaire de la courbe donnée sur un plan, la courbe Pj se transforme en une droite. On peut, en général, supposer qu'il existe une valeur Sq de 5, telle que

lim p{s) = o,

d'où:

En développant sur un plan la surface polaire de la courbe considérée, les développées de P se transforment en des droites passant par un point fixe.

Soient e/^'i» d^^, e/^'s les angles de contingence des vecteurs T,, Ni, Bi; Ti est parallèle au vecteur K, ainsi que Ni au vecteur T, et les formules (2) et (3) donnent

APPLICATIONS. l49

d^i= ^ds;

par suite, de -^ r-^ = — r-^^ on déduit

d^^ = — - ds,

et en observant que ^ =± ^f^, il vient:

En chaque point d*une développante de la courbe P, on a

^ et / — doivent être constants en même temps; mais,

— est constant quand, pour toute valeur de 5, - = o;

donc :

Les courbes planes ont seules pour développées des courbes planes ou des hélices.

Si Pi est Tarête de rebroussement de la surface polaire de la courbe P, on a {voir n° 59)

ptangcp=-Tj,

— = rflogp = — tangçp — = — tangçpfl?cp = rflogcoscp;

par conséquent, — ^ est une constante non nulle; donc :

Les courbes dont Vune des développées coïncide avec le lieu du centre des sphères osculatrices ont leurs courbures liées

par la relation

ads

ou c y^ o et <^Q figurent des constantes arbitraires.

l5o CHAPITRE III.

De même, on démontre que :

Les courbes planes seules ont une de leurs développées qui coïncide avec le lieu du centre de courbure.

Si le point Pj décrit une des développées de la courbe P, par les formules (2), (2)', (3), on a que le plan rectifiant au point Pj est parallèle au bivecteur |T=:NB; donc, étant planPiNB=: plan PNB [formule (4)] le plan rectifiant au point Pj, on a :

U arête de rebroussement de la rectifiante de chaque développée de P est le lieu des centres des sphères osculatrices de la courbe P.

Inversement, si le point P^ décrit une courbe dont la rectifiante a pour arête de rebroussement l'arête de rebroussement de la surface polaire de P, doit être

(5) Pj=p+pN-+-^B,

avec Ni parallèle au vecteur T. On trouve aisément (^) que Nj est parallèle à T seul, quand --p est parallèle au vecteur

ds cosçN-h sinoB avec do = — :

par conséquent, le nombre œ de la formule (5) est soumis à

la condition

dx tanecp p dp

mais a?=ptang9 ^st une intégrale particulière de cette équation différentielle, et, par suite, Tintégrale générale est

langqp

X = p tango -h ce*^ "^

ou bien, étant g?9 = — ,

X = p tangcp

coscp

(') Car si N,T = 0, on a T, = cos cp N -f- sin cp B {'voir lanoteàla page i45).

On a donc, par la formule (5),

Pi = PH-pN4-(p tangcp

coscp

qui donne toutes les courbes dont les surfaces rectifiantes ont pour arêtes de rebroussement le lieu des centres des sphères osculatrices de la courbe P.

68. Trajectoires orthogonales des plans d'une enveloppe. — Soit TT une forme du troisième ordre dont la position ail une enveloppe. On peut, d'une manière très générale, poser