Voici quelques conséquences des formules

Des secondes formules (2) et (2)' résulte

I 1 /sincp\2

ce qui prouve que :

Le produit des torsions en chaque point d^une courbe de M. Bertrand et de sa conjuguée a pour valeur constante le

, , sincp carre de — - • u

Si - est constant et il n*en est pas de même de -> la for-

mule ( 3 ) donne 9 — - » ^^ = p ; ainsi le théorème précédent et la formule (3)' prouvent que :

Siy pour une courbe gauche de M. Bertrand, la courbure est constante sans que la torsion le soit, cette courbe admet pour conjuguée unique le lieu de ses centres de courbure, ou, ce qui revient au même, le lieu des centres de ses sphères osculatrices. L^ angle des plans osculateurs en un point de la courbe et au point correspondant de la conjuguée est droit; la courbe P et sa conjuguée ont même courbure et le produit des torsions en deux points correspondants est égal au carré de la courbure.

On déduit encore aisément de la formule (3):

Une courbe gauche de M, Bertrand ne peut avoir une torsion constante sans que la courbure soit également constante ou, en d'autres termes, les seules courbes gauches de M. Bertrand qui soient à torsion constante sont les hélices ordinaires,

La formule (3) donne encore :

Une courbe gauche de M, Bertrand qui n'est pas une hélice ordinaire ne possède qu'une seule conjuguée; au contraire, une hélice ordinaire a une infinité de courbes conjuguées décrites par les points Pi = P -+- aN, o« w figure une constante arbitraire.

l58 CHAPITRE III. — APPLICATIONS.

Lorsque P est une hélice ordinaire, on peut déterminer u de sorte que dsi^ids, c'est-à-dire que les courbes P, Pi aient

même arc; il faut avoir d=: i, ou w = — > si j- représente la courbure normale. Donc (n** 61) :

Si P est une hélice ordinaire et que le point central, pour la droite PPi de la surface des normales principales à P, soit moyen de P et Pi, les courbes P, Pi auront même arc, et réciproquement.

Soit /• le double rapport de la suite de points P, Pi, P -+- pN, Pi— piN; comme Pi = Ph-mN, nous aurons PPi = mPN et PiP=:— aPiN. Donc:

P(P-+-pN) Pi(Pi— piN) ^ pPN -piPiN

P(Pi— piN) P,(P-+-pN) ~ wPN — piPN — wPiNH-pPiN

^ P Pi ^ J L,

u — Pi u — p u u

p pi

ou, en vertu de (3) et (3 y,

COS^cp *

Un point quelconque de P, son correspondant Pi sur la conjuguée et les centres de courbure aux points P, Pi, forment

un double rapport constant et égal à — r—*

NOTES. 169

NOTES-

Formes fonction de deux on de plnsienrs variables. — Comme en Analyse, nous représenterons par /(m, ('),/( m, CjW'), ... une forme fonction des variables w, ç, ou «, c, w, ... ; de même

sera la dérivée partielle de /(«,('), par rappoi't à u.

Sous les mêmes restrictions que celles qui sont introduites en Analyse, nous appellerons, par exemple, différentielle totale de/(w,p) le nombre infinitésimal df{u^v) tel que

ou, sous une autre forme, tel que

^/(«,^) =fL(u,v)du-\-f^{u,Q)dQ.

Dans ces conditions, si f(u,Q) figure une forme continue du premier ordre non nulle, lorsque m et ^ varient entre des limites données

posit/(M,f)

engendre une surface, uq et vq étant des valeurs particulières de u et de v^ les points /(mo, ^)5 f{U)^o) décrivent sur la surface des lignes que l'on appelle, respectivement, courbes u et courbes f , qui fournissent, si l'on veut, un ensemble de lignes coordonnées de Gauss sur la surface.

De même, si /(w, v) est une forme du deuxième ordre non nulle à invariant nul, po8it/(M, p) décrit une congruence de droites et finalement, dans le cas où /(«, q) est une forme du troisième ordre, posit/(M, p)

l6o NOTES.

figure une double infinité de plans, qui sont, en général, tangents à une surface déterminée.

On peut aisément étendre ces considérations aux fonctions

Plan tangent. — Supposons que P(«,^) soit un point, fonction continue de w et f : nous disons qu'un plan ir est tangent en P, à la surface F, si la droite PPi fait, avec le plan -tt, un angle (aigu) qui ait pour limite zéro, lorsque le point Pi tend à se rapprocher indéfiniment du point P d'une manière quelconque, à la seule condition de rester constamment sur la surface.

On appellera normale à la surface en P la perp endiculaire au plan ir passant par le point P.

La définition du plan tangent montre que : si au point P le plan tangent tz à la surface est déterminé y ainsi que la tangente r enV à une courbe quelconque tracée sur la surface à partir du point P, la droite r est nécessairement contenue dans le plan tz.

dP dP

Si les vecteurs -7- et -r-. sont des fonctions continues et si le bivec-

du dv

teur -T- -7- n est pas nul, le plan P ;/- 77- est tangent en P a la surface P.

Posons en efi'et : Pi = P(w + /z, i^-h k), on a

^ ^ , d? j dP ^ Pi = P -h /i 3- -h /c 3- + Q, du dv ^

où Q est un vecteur d'ordre infinitésimal supérieur à l'unité en prenant //i^ -f- A'2 pour infiniment petit principal. On en déduit

^ du dv ^ du dv^ par conséquent lorsque Pi tend vers P, le vecteur Q tend vers zéro

ainsi que l'angle formé par le vecteur Pi — P avec le plan P -î- -r- •

"^ du dv

Si z —f{x^y) est Téquation cartésienne de la surfacs, alors on a

P = 0-hiPl4-jrI-f-zK

NOTES, l6l

et

ax df \ dx I \ df j dx dy

c'est-à-dire que les coefficients angulaires du plan tangent au point P

sont respectivement

dz dy

dx dx '

et l'équation même de ce plan tangent est

on retrouve donc ainsi l'expression ordinaire bien connue.

Paramètre dififérentiel du premier ordre. — Il se présente fréquemment, dans les questions de Mécanique ou de Physique, que Ton ait à considérer un nombre u fonction de la position d'un point variable P ; si, dans ce cas, P est, par exemple, fonction de ses coordonnées cartésiennes X, 7, 2, la quantité u est alors également fonction des variables j:, y^ z.

Nous appellerons paramètre différentiel de u, et nous indiquerons, par la notation V«, un vecteur tel que

(i) dii = Vu\d?,

Si Vtt, Vu sont deux paramètres différentiels de u, par la relation (i), on a

Vu\dP = Vu\d? ou {Vu — Vu)\dP=o\

par suite, si le paramètre différentiel de u existe et si dP n'est pas nul, le vecteur Vm est déterminé d'une façon unique.

On a û^M = si M = const. et les vecteurs V« et dP sont nuls ou rectangulaires; mais, pour w = const., le point P décrit une surface ou bien une ligne, si P était déjà assujetti à se trouver sur une surface et si Vm et dP sont bien déterminés sans être nuls, la formule (i) prouve que la droite P Vm est la normale en P à la surface décrite par le point P où une normale à la courbe décrite par P.

Soit un point fixe, ou le pied de la perpendiculaire abaissée du B.-F. II

NOTES

point P sur une droite (ou un plan) fixe, de sorte que OP ?^ o; si nous

posons

u = mod OP,

c'est-à-dire si u représente effectivement la distance du point variable P à un point, une droite ou un plan fixe, on aura

modfP — 0) P-0

En effet (^voir n° 37, k), nous savons que

du =

mod (P-0)

{d? — dO)\

mais on a que dO = o, ou que le vecteur P — est perpendiculaire au vecteur ^0 et, par conséquent.

du =

mod(P — 0)

rfP,

expression qu'il suffit de comparer à la formule (i) pour obtenir le théorème demandé.

Soient encore m et p des nombres fonctions de P et /(m, v) une fonction de M, p à dérivées partielles bien déterminées ; on a

(3) En effet,

'^ du d/v

au dv du

dv

df.

=(f^-iSk^'

égalité qui, avec la formule (r), établit la propriété énoncée.

Si est un point fixe, que I, J, K soient des vecteurs unités rectangulaires, et si, de plus.

on a

P=:rO-^xI-^/J + 3K,

du ^ du du „ dx dy dz

En effet, d'après la formule (2),

Vjc = I, Vj = J, V2 = K,

NOTES

et, par suite,

. du y du y du y

au= -r dx -\ — 7- or H — j- ai dx dy dz

du — dx

c?Ph- -7-V2 az

[ du ^ du ^ du ^

\dx dy ' dz

dP,

ce qui, en vertu de la formule (1), démontre le théorème. En général (Lamé), on appelle paramètre différentiel de u le nombre

modVw, ou encore I / ( j- ) ~^ \zr.) "^ ( ^ ) ' ^^ ^^ considération du paramètre différentiel comme vecteur est due à Hamilton.

Coordonnées curvilignes. — Soit P(2/, v) un point fonction continue et admettant des dérivées en u et v] si les variables u et if sont liées par une relation quelconque, le point P(«, v) décrit une courbe sur la surface P(«, ('). En appelant s l'arc de cette courbe, et supposant vérifiées toutes les conditions énoncées au § 4 du Chapitre II, on a

Mais, par ailleurs,

ds = mod dP,

,^ dP ^ dP.

dP = -j- du -{- -j- a^î au dv

et, si l'on pose

du

^, F= — du du

dP c - —

dv dv

dP

di'

la formule (i) donne

ds^ =Edu^-{- lYdu dv-^G dv^,

formule ordinaire bien connue. Les nombres E, F, G, que l'on considère habituellement pour les coordonnées de Gauss, ont, d'après les formules (3), une signification géométrique très simple.

La seconde des formules (2) prouve que, dans le cas où ^ et ^

l64 NOTES.

sont des vecteurs non nuls, les lignes coordonnées a, (^ sur la surface ne peuvent se couper à angle droit que si F = o. On peut encore déduire des formules (2)

EG — F2 = ( mod ^. mod ~ V

au dv I

r ,rfP ,rfP /rfP ^\T

— mod --r * mod j- cos ( -=- > 1- L du dv \du dv I \

ou

EG — F* = ( mod

<fw dv j

ce qui prouve que le discriminant de la forme quadratique différentielle (2) est positif ou nul.

En associant encore les formules (2) avec la précédente, on obtient l'équation