THÉOBÈMB9 ET PROBLÈMES SUR LE TRIANGLE

et

2GÂ* -*- 2 GB — GC* = c a :

ajoutant et réduisant, il reste

GA -+- GB -hGC = " ^ -

252. Ze centre du cercle circonscrit à un triangle, le centre de gravité et le point de concours des hauteurs sont sur une même droite, et la distance des deux premiers points est moitié de celle des deux seconds [Jig* 79).

En effet, soient O, G, H ces trois points, on voit que les triangles ACH, MPO sont semblables, comme ayant leurs côtés respectivement parallèles : de plus,

MP=-AC, donc OP=-CH.

On sait aussi que

GP= iCG;

donc les triangles CHG, POG sont semblables comme ayant un angle égal compris entre les côtés proportionnels ; par conséquent, l'angle CGH = OGP, et comme déjà la ligne CGP est droite, la ligne HGO Test aussi. De plus, la proportion des autres côtés de ces triangles donne

OG « i GH.

253. Imaginons que Ton joigne BO, AO, et que Ton ait tracé le cercle circonscrit de centre O. L'angle au centre BOA est double de l'angle inscrit ACB ; donc

BOP = C.

Par conséquent,

BP=-=RsinC, ou c = 2RsinC:

on a de même

6 = 2RsinB, /z = 2Rsin A.