Le même triangle BOP donnera aussi

OP = R cos C.

Mais on a vu ( 252 ) que

CH = aOP;

donc

CH = 2RcosC:

on aura de même

BH = 2R cosB, AH = sR cos A.

256. Le cercle qui passe par deux sommets d'un triangle et par le point de concours des hauteurs a le même rayon que le cercle circonscrit.

Par les sommets du triangle ABC (Jig. 8o) menons aux côtés opposés des parallèles qui détermineront, comme dans la Jig. 77, un triangle quadruple du triangle donné, mais dont nous n'avons indiqué ici qu'un seul sommet C. Soit H le point de concours des hauteurs AD, BE et F le milieu de C'H : la droite G A, parallèle à BC, sera perpendiculaire sur AD. Soit donc FG perpendiculaire aussi sur AD : on voit que G sera le milieu de AH; de même, si FI est perpendiculaire sur BE, I sera le milieu de BH : par conséquent F sera le centre et FH le rayon du cercle circonscrit à ABH. Observons enfin que ce cercle est encore circonscrit à ABC.

Mais nous savons (248) que HC est le rayon du cercle de centre H et circonscrit à A'B' G. Comme ce triangle a les côtés

THÉORÈMES HT PBOBLkXBS BUS I.H TRIANGLE. 131

doubles de ceux du triangle semblable ABC, on vo-if (953 ) que le rayon du cercle circonscrit à ABC sera

c'est-à-dire le même que pour ABH.

11 y aurait deux autres cercles analogues.