II. — Cercle inscrit bt cerclbs bx-ikscrits

257. La bissectrice d'un angle étant le lieu des points également éloignés des côtés de cet angle, le point I {Jig. 81 ), où se coupent les bissectrices des angles A etB d'un triangle ABC, est également distant de AB et de AC, de BA et de BC : il est donc également éloigné des trois côtés et se trouve aussi sur la bissectrice de l'angle C ; ainsi ces trois droites concourent au centre I du cercle inscrit à ABC.

La bissectrice du supplément de 1 lieu des points également distants d de AB ; celte du supplément de l'ai priété analogue. Donc ces deux 1 encore en un point également éloigi côtés, et ce point I' sera évidemme

autres points analogues l" et I", ce qui donnera les centres des trois cercles ex-inscrits.

258. Les droites BI, Bl' divisant en deux parties égales, l'une l'angle ABC, l'autre son supplément, seront perpendiculaires entre elles : il en sera de même en A et en C, c'est-à-dire que les droites IA, IB, IC sont perpendiculaires en A, B, C sur les côtés du triangle I' I" I". On a donc ce tbéorème :

Les hauteurs d'an triangle sont les bissectrices da triangle qu'on obtient en joignant les pieds de ces hauteurs.

259. Nous verrons plus tard (288) que le rayon du cercle circonscrit à F 1*1* est double de celui du cercle circonscrit à ABC.

Maintenant nous allons démontrer que les rayons menés des sommets d'un triangle au centre du cercle circonscrit sont respectivement perpendiculaires aux côtés du triangle formé par les pieds des hauteurs.

121 GHAPITEB X.

En effet, soit (Jig. 81 ) le centre du cercle circonscrit à l' I" I", et a, (3, y les angles que font les rayons menés de ce centre aux sommets, avec les côtés V 1", Y V, V V. On a

d'où Ton tire ,

aà-f-(P + y) = V+V=i8o — Y,

ou bien

et enûn

<x = çp — l'.

D'un autre côté, dans le triangle CBI', on a l'angle

de même,

ÇBJ'^i(i8o— B) = 9Q — IB;

BCl' = 90— l - C:

donc la somme de ces deux angles est

180 — i(B-»-C) = 9o + iA.

Par conséquent, le troisième angle Bl'C ou V de ce triangle vaut

ou biep

90^- i A, d'où iA = 90^1',

Donc les deux angles BAI,' AI" O sont égaux, et comme déjà ils ont deux côtés perpendiculaires AI et AI", les autres côtés AB et 01" sont aussi perpendiculaires, ce qui démontre le théorème.

260. L'aire d'un triangle V I" I" est égale au rayon du cercle circonscrit multiplié par le demi-périmètre du triangle ABC formé par les droites qui joignent les pieds des hauteurs.

En effet, imaginons Que Ton ait mené, dans la Jig. 81, les

THÉORÈMES ET PROBtÈMW SUR LE TRIANGLE. tft3

droites AO, BO, CO : le triangle V V l* est divisé en trois parties dont chacune, telle que OBI'C, se compose de deux triangles qui ont pour base commune 01% et dont les hauteurs ont BC pour somme, puisque BC et 01' sont perpendiculaires d'après le numéro précédent. Faisant de même pour les autres parties, on obtient le théorème énoncé.

261. La bissectrice d'un angle d'un triangle divise en deux parties égales V angle formé par le rayon correspondant du cercle circonscrit et la hauteur partant du même sommet (fg.Si).

Dans le triangle rectangle BIT, l'angle