AB.AC = E'B.E'C — AE

En effet, les triangles ACE', ADB sont semblables; ils

THÉORÈMES ET PRORLMtES SITE LE TRIANGLE. 125

ont l'angle D'AB = CAE', car D'AS est opposé à un angle égal à CAE' par hypothèse ; ensuite les angles ACE', AD'B sont égaux comme supplémentaires des angles ACE, ADB déjà reconnus égaux dans la première partie de ce numéro; cette relation d'angles supplémentaires se voit d'un côté sur la droite BCE', de l'autre dans le quadrilatère inscrit ADB1V. On a donc

]Qg7=2j» doù AC.AB = AE'.D'A = AE'(D'E'— AE').

Mais *

ce qui démontre la rektion écrite.

III. — Formules relatives aux cercles inscrit et ex-inscrits.

266. Soit r le rayon du cercle inscrit, de centre I, au triangle ABC (fig. 81): il est clair que les triangles partiels IBC, IAC, IAB ont respectivement pour mesure

- ar f - or, - cr*

Soit donc S la surface ABC et p = a -+- b -f-c, on a

S = rp.

267. Soient r', r", r M les rayons des cercles ex-inscrits dont

les centres sont I', F, I* (fig. 8i). On verra que

I'BC = - ar' 9

et de même

I'AC=i*r', I'AB = -cr'.

Donc