La somme des distances des sommets d'un triangle au

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point de concours des hauteurs est égale à la somme des diamètres des cercles inscrit et circonscrit.

On a trouvé (255)

AH = aRco$À, BH = 2RcosB, CH = 2RcosC;

ainsi cette somme est

2 = aR(co6À-t-cosB-f- oosC).

On a diro totil triangle la formule

a=6cosC -f-ccosB; de même,

6=t<icosC4-ccos A, c = acosB + 4cosA.

Ajoutant, il vient

ip = (%p — c) cosC-*-(2/> — 6)cosB-h(2/> — <i)cosA

= 2/>(cosA + cosB-hcosC) — (<zcosA-f- ftcosB + ccosC).

Hais, dans la triangle BOA (fig. 79), 0P«IUûsC (SK), d'où 9. BOA 5=: Rr cos C, et Le double de la surface totale ABC sera

2 S = R(a cos A -f- 6 cos B + r cosC),

ce qui donne

2S acosA+fccosB-+-ccosC = rg- = 2p(cosA+cosB-HcosC— 1),

ou bien

cos

A-HcosB-+-cos<; — t^ïr et 2^=2»(i4-i-J=2RH-2r.

276. Par conséquent, les formules CH = aRcosC et OP == R cos C, du n° 255, ainsi que les relations analogues , donnent le théorème suivant :

La somme des distances du centre du cercle circonscrit aux trois côtés est égale à la somme des rayonsdes cercles inscrit -et circonscrit.