i° On a

BF = CF cot B \fig. 79 ), AF = CF cot A.

THÉORÈMES ET PROBLÈMES SUR LE TRIANGLE. l3i

Ajoutant, il vient

\sinB^ sinA/ sînAsinB

puisque C= i8o° — (A-f-B);

donc

CF— aRsinAsinB;

on aurait de même les deux autres hauteurs.

a° Ensuite

HF = CF — CH = 2R(sinAsinB— cosC);

il reste donc

HF = 2RcosAcosB.

On a de même les deux longueurs analogues.

3° On a trouvé

BF = CF cot B =* 2 R sin A cos B,

en remplaçant CFpar sa valeur (fig. 79). Ensuite FP = BP — BF = RsinC— 2RsinAcosB.

Mais coAme C = 180 — (A-j-B), il reste

FP = Rsin(B— A).