DES CERCLES INSCRIT ET EXINSCRITS
278. Lehve. — D'un centre {fig* 84) décrivez un cercle: d'un point G de cette circonférence pris comme centre, décrivez une seconde circonférence qui coupe la première en B et C ; enfin d'un centre I pris sur cette seconde circonférence, décrivez un troisième cercle tangent à BC. Les autres tangentes menées des points B et C à ce troisième cercle se rencontreront en A sur la première circonférence de centre 0.
Soit BF perpendiculaire à BG; les angles FBC, BIC sont égaux comme ayant tous deux pour mesure la moitié de
l32 CHAPITRE X.
l'arc BI'C dans la circonférence 6. Mais
FBC=9o + GBC, et BIC= i8o° — i(B + C),
en indiquant par A, B, C les angles du triangle ABC. Donc, retranchant 90 degrés de part et d'autre,
GBC=9o°— -(B-f-C) = -A;
ainsi Tare GB = GG = A, et Tare BGC = 2 A est capable de l'angle A, dont le sommet se trouve par conséquent sur la circonférence 0, à laquelle appartient cet arc.
279. La bissectrice AI de l'angle A, qui passe nécessairement au milieu G de l'arc BGC, coupe la circonférence G en un autre point F qui est un centre de cercle exinscrit au triangle ABC. En effet, ce point F est déjà sur la bissectrice de l'angle A; de plus, IF étant un diamètre de la circonférence G, BF est perpendiculaire sur $1; donc BF est bissectrice de l'angle CBA', supplément de B, ce qui démontre la proposition.
Ce qui précède suffit encore pour faire apercevoir le théorème suivant :
Le milieu G de la distance du cercle inscrit I à celui d'un cercle exinscrit à un triangle ABC est sur le cercle circonscrit à ce triangle.
280. Soit 01 = S dans le triangle OGI (fig. 85) où 0G = R; on a, par un théorème connu,
ô^R'+gT— 2R.GF.
Mais le triangle rectangle LBG, où LG est un diamètre, donne aussi
gT=gb 2 =2R.gd.
Ajoutant ces égalités, on a
d* = R' — aR(GF— GD);
or, IF étant parallèle à BC, DF = r, donc ô* = R* — 2 Rr.
On peut encore poser d J = (R — r) 2 — r\ Cette formule est remarquable, parce que S ne dépend que de R et de r.
THÉORÈMES ET PROBLEMES SUR LE TRIANGLE. l33
281. De même, soit F le centre d'un cercle exinscrit, le triangle OGF donnera
Mais donc ou bien De même
OI ,> =d" = R a + GF S +aR.GF'.
GF = GI(279), et GF' = GF; t à' 1 = R» H- aR ( GF' -h GD ), â" = R a 4-2Rr'.
