Dans la formule ( i ), posons

bd = 90 , d'où sin db = — 1 ,

elle dévient, à cause de cos 6c = cos — bc,

(3) sin ac = s\n ab. cos b c -\-s\n bc. cos ab,

relation entre trois points d'une circonférence.

Si Von prend, au lieu du point a, un point a' situé à 90 degrés de distance, les sinus relatifs à a seront changés en cosinus relatifs à a', et les formules (1) et (3) deviendront (en supprimant l'accent devenu inutile)

(4) cos«fr.sincrf-|-cosac.sintf6-f-cosarf.sin6c==o, et

( 5 ) cos ac = cos ab . cos cb — sin ab . sin bc.

11 est facile de voir que, suivant la position relative des points, les formules (3) et (5) donnent

sin ( a ± (3 ) = sin a cos (3 ± sin (3 cos a, et

cos(a±(3) = cos a cos (3 zç: sin (3 sin a.

309. Prenons la formule (2) sous la forme indiquée au n° 305, c'est-à-dire écrivons

sin-<zc.sin-rffc = sin - ab .sin- cd -t- sin - ad .sïn - bc, 2 .2 22 22

en admettant que les arcs ac et db empiètent l'un sur l'autre. Alors les droites ab, bc, cd, ad seront les côtés d'un quadrilatère inscrit dont ac et bd seront les diagonales. Mais, dans la formule précédente, les sinus sont les moitiés des cordes correspondantes; par conséquent, dans un quadrilatère inscrit, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés»

SYSTÈMES DE POINTS EN LIGNE DROITE. l5l

310. Joignons un point quelconque aux sommets A, B, C, D d'un quadrilatère, la formule des sinus (306), étant multipliée par j OA.OB.OC.OD, donnera, si Ton songe que Taire

d'un triangle a pour mesure la moitié du produit de deux côtés multiplié par le siçus de l'angle compris, la formule suivante :

trg. AOB . trg.COD -f- trg. AOC . trg.DOB 4- trg. AOD . trg.BOC = o.

Si le quadrilatère est convexe et si Ton compte les angles dans un sens déterminé afin de donner des signes aux surfaces des triangles, cette'formule revient au théorème suivant :

Si un point pris dans le plan d'un quadrilatère convexe est regardé comme le sommet commun de six triangles ayant pour bases les côtés et les diagonales, le produit des surfaces des triangles qui ont pour bases les diagonales est égal à la somme ou à la différence des produits des aires qui ont pour bases les côtés opposés, selon que le point est en dehors ou dans V intérieur du quadrilatère.

• IV. — Théorème général.

311. Étant pris sur une même droite a points a, b, c, ., ., et ce — i points m, n, p,. . * , on a fa relation '

am .an. an. . . bm .bn.bp. . .

ab.ac.ad. . . ba.bc.bd...

Nous allons prouver que, si cette relation est vraie pour deux systèmes de a — i et a — 2 points, elle sera vraie aussi pour le système proposé de a et a — 1 points.

En effet, si l'équation proposée n'est pas identique, quels que soient les deux systèmes, on peut regarder tous ces points comme fixes, à l'exception d'un seul qu'on cherchera à déterminer de manière que l'équation soit satisfaite. On peut choisir ce point dans celui des systèmes que l'on voudra, et ce sera le point m. Ce point se déterminera par une équation du premier degré, puisqu'il ne figure pas dans les dénominateurs et qu'il n'entre que dans un segment de chaque numérateur. (Du reste, un segment tel que bm, partant de m, peut se ra-

l52 CHAPITBE XI.

mener à un segment fixe am, au moyen de la relation

bm -+- ma + ai = o.)

•Cela posé, il ne devrait exister qu'une seule position du point m. Cependant, si Ton fait coïncider ce point avec l'un quelconque de ceux du premier système, on satisfait à la question : en effet, si c'est, paF exemple, avec le point a, d'où am=o, il reste, puisque bm = ba, etc., la relation suivante :

bn . bp . . .

bc . bd . . .

et cette relation est vraie par hypothèse, puisqu'elle a lieu entre a — i points 6. c, rf, .. . et a — 2 points n, p,. . ..

On vérifierait de même que m peut coïncider avec 6, c, rf,...; donc il y aurait au moins a positfons de m, tandis qu'il ne devrait y en avoir qu'une seule.

Par conséquent, la relation générale est une identité, car étant vraie pour deux points a, b et pour m qui donnent

am -h mb -+- ba = o, ou bien

am bm

~âb + Ta"- 1 '

elle sera vraie pour trois points a, 6, c d'un côté, et pour deux points m, n de l'autre, et ainsi de suite.