DROITES MOBILES, TRIANGLES HOMOLOGIQUES

L — Description d'une droite par points.

318. Étant donnés un angle ASA' (fig* 93) et deux points O et O' en ligne droite avec son sommet, si autour d'un point fixe p on fait tourner une transversale qui rencontre les côtés de l'angle en a et a*, le point de concours m des droites Oa, Oa' engendrera une droite.

En effet, les lignes telles que paa f déterminant sur les côtés de l'angle donné des rapports anharmoniques égaux (98), on a sur ces côtés deux séries de points a et a 1 (102) où le sommet S est son correspondant à lui-même. Donc OSO ; réunit deux rayons homologues dans les faisceaux O et O' dont Oa ' et Oa' font partie : par conséquent (109), leur intersection m sera sur une droite fixe.

Joignons pO qui coupe SA' en y? et pO' qui coupe SA en n> la construction générale fait voir que p et n sont sur cette droite. {Voir une autre démonstration, n° 392.)

319. Si autour d'un point fixe p on fait tourner une droite qui rencontre deux droites fixes SA, SA' [fig* 94) en deux points a et a' 9 et que de deux autres points fixes P et P', en ligne droite avec le premier, on mène des rayons à ces deux points respectivement, le point d'intersection m de ces deux rayons décrira une ligne droite passant par le point de concours des deux droites fixes.

En effet, les points a et a! marquent encore sur SA et SA' deux divisions homographiques; par conséquent P et P' sont les sommets de deux faisceaux homographiques aboutissant à ces divisions. Ces deux faisceaux ont deux ravons coïncidents suivant la droite PP', donc leur point d'intersection décrit une

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ligne droite (109), et comme, dans ces deux divisions, le point S se correspond à lui-même, on voit que cette ligne droite est mS.

320. Les rayons Va, Va? rencontrent les deux droites SA', SA respectivement en deux points a, al, et la droite acd tourne autour d'un point fixe R situé sur la droite pPP'. Car les faisceaux P et P', étant homographiques, le seront dans un sens comme dans l'autre, c'est-à-dire que les points a el a* marqueront des divisions homographiques sur les côtés de l'angle ASA' dont le sommet S sera encore homologue à lui-même. Ainsi l'égalité des rapports anharmoniques fera, réciproquement à ce qu'pn a vu dans le n° 98, que les droites telles que olol' concourront en un même point, et ce point est sur la droite pPP' parce que cette droite est elle-même une des positions de la droite olol'.

Si P' se confond avec P, et par conséquent avec m, les droites telles que olol' concourent toujours en un point R placé sur pP.

321. On peut considérer le triangle variable amd (fig.gb) comme formé par trois côtés dont chacun passe par un des trois points fixes p, P, P', tandis que deux des sommets a et a' glissent sur deux droites fixes SA et SA' : alors le théorème précédent consiste en ce que le troisième sommet m est aussi sur une droite fixe qui passe par le point de concours S des deux premières.

Ce théorème, qui résume dix po ris mes d'Euclide, est généralisé par Pappus dans l'énoncé suivant ;

Étant donné un polygone de n côtés, si on le déforme en faisant tourner tous ses côtés autour d'autant de pôles situés en ligne droite, de manière que tous ses sommets, moins un, glissent sur des droites fixes, i° le dernier sommet décrira une ligne droite; 2° le point de concours de deux côtés quelconques non contigus décrira aussi une droite (fig. 96).

Soient a, a', a",..., a n les n sommets du polygone dont les n côtés a n a, aa', . . . , tournent autour de n points fixes P, P', P",..., situés en ligne droite, tandis que ses /i — 1 premiers sommets a, a',..., glissent sur n — 1 droites A, A',...; je dis que le dernier sommet a n décrit une ligne droite et que le

DROITES MOBILES, TRIANGLES HOMOLOGIQUES. tSj

point de concours de deux côtés quelconques, tels que aa' et a tt a'\ décrit aussi une ligne droite. >

En effet, deux côtés consécutifs tels que aa' et a! a", qui tournent autour de deux points fixes P, P', forment deux faisceaux homôgraphiques, puisque leur point d'intersection glisse sur une droite A', la droite PP' étant un rayon commun de ces deux faisceaux; cela se voit comme inverse du n° 109. Pareillement, le côté suivant a!* a'" forme autour du point P" un faisceau homographique à celui qui a été formé autour du point P', et, par conséquent, à celui qui a P pour sommet; et ainsi successivement pour les faisceaux formés par les côtés suivants. De sorte que deux côtés quelconques forment, en tournant autour de leurs pôles fixes, deux faisceaux homôgraphiques dans lesquels la droite PP'P". . . est un rayon commun. Donc l'intersection de ces deux côtés décrit une ligne droite (109), ce qui démontre les deux parties du théorème.