II. — Droites concourantes en un point

322. Étant donné un angle ÀSÀ' (fig. 93), si autour de deux points et 0' en ligne droite avec son sommet S on fait tourner deux rayons dont le point de concours m glisse sur une droite fixe np, la droite qui joindra les points de rencontre a, a* des deux côtés de l'angle avec ces deux rayons passera par un point fixe p.

Cette proposition est évidente comme reproduisant, sous une autre expression, le théorème du n° 318.

323. Si les trois sommets d'un triangle ama' {fig. 94) glissent sur trois droites fixes SA, SA', S m concourantes en un même point, tandis que deux de ses côtés tournent autour de deux points fixes P et P', le troisième côté aa' tournera autour d'un troisième point fixe p en ligne droite avec les deux premiers.

Ce théorème est encore évident comme étant une expression inverse du théorème démontré n° 319, tel qu'il est énoncé au commencement du n°321.

324. Ce théorème s'étend, comme il suit, à un polygone d'un nombre quelconque décotes.

Étant donné un polygone de n côtés, si on le déforme en faisant glisser ses n sommets sur des droites concourantes en

l58 CHAPITRE XII.

un même point, tandis que n — i de ses côtés tournent autour de n — i points fixes pris arbitrairement, le n ième côté du polygone tournera autour d'un point fixe , ainsi que chacune de ses diagonales (fi g» 96).

Soit aa'a"a'" . . . le polygone dont les soiqmets à, a' f a", . . . , glissent sur les droites A, A', A", . . . , toutes concourantes en un même point S, tandis que les n — 1 côtés «a', aV,a"a w ,.. . , tournent autour des points P, P', P", . . ., pris arbitrairement. Je dis que le dernier cèté aa a ppssera toujours par un même point, et qu'il en sera de même de chacune des diagonales, telles que a' a'",

En effet, deux points conligus a' 9 a" marquent sur deux droites SA', SA" deux divisions homographiques dont le point S est un point commun, puisque le côté a' a" tourne autour d'un point P' (98). Pareillement, le point suivant d" marque sur la droite SA ;// une division qui est homographique à la division marquée Sur A", et, par conséquent,, à celle qui est marquée sur la droite A\ et ainsi de suite. Donc deux sommets quelconques forment sur les deux droites qu'ils parcourent deux divisions homographiques qui ont un point commun en S, point de concours de ces deux droites. Donc la droite qui joint ces deux sommets tourne autour d'un point fixe, ce qui démontre les deux parties du théorème.