III. — Triangles homologiques

325. Les théorèmes qui précèdent, relatifs à des triangles ou polygones variables, nous amènent nalurellemeqt à considérer les triangles qu'on appelle homologiques, et qui se correspondent l'un à l'autre dans les circonstances que nous allons étudier.

Quand deux triangles ont leurs sommets deux à deux sur trois droites concourantes en un même point, leurs côtés se rencontrent, deux à deux, en trois points situés en ligne droite

• Soient ABC, abc les deux triangles dont les sommets sont, deux à deux, sur les trois droites Aa, Bb, Ce concourantes en un même point S; je dis que les trois côtés AB, BÇ, CA du premier rencontrent respectivement les trois côtés ab, bc, ca

DROITES MOBILES, TRIANGLES IIOMOLOGIQUES. l5c)

du second en trois points y, a, (3 situés en ligne droite. En effet, puisque Ce, ka, Bb passent en S, ces droites seront trois rayons d'un faisceau S que nous compléterons par Sy, et ces droites diviseront dans le même rapport anharmonique les directions ab et AB (98) : soient donc d et D les points où ab et AB rencontrent Ce, les points d, a, b> y ont le même rapport anharmonique que les points D, A, B, y. Par conséquent, les deux faisceaux cd, ca, cb 9 cy et CD., CA, CB, Cy sont homographiques, et les deux rayons homologues cd, CD sont en ligne droite : il en résulte donc (109) que les points a, (3, y où se coupent les autres rayons homologues sont en ligne droite

326. Réciproquement, si deux triangles sont tels, que leurs côtés se coupent, deux à deux respectivement, en trois points situés en ligne droite, leurs sommets sont sur trois droites concourantes en un même point.

Il suffit de renverser le raisonnement précédent.

Les trois points a, (3, y étant en ligne droite, cette droite est coupée aux quatre mêmes points par les lignes cd, ca, cb, cy et CD, CA, CB, Cy. Donc les faisceaux c, C sont homographiques, c'e^t-à-dire que les points d, a, b, y et leurs homologues D, A, B, y ont un même rapport anharmonique. Par conséquent, les rayons cd, CD étant en ligne droite et le point y étant commun à deux autres rayons homologues, les droites kà, Bb concourent sur la ligne Ce.

327. Lemme (fig. 98). — Étant pris sur une première droite deux points A, B, et sur une seconde deux points a, b, et étant menées les droites kà, Bb qui se rencontrent en un point S; si Von fait tourner la seconde droite ab autour de son point de rencontre y avec la première, le point S change de position, et alors il arrive :

i° Que la droite menée par le point S parallèlement à la droite ab dans chacune de ses positions rencontre la droite AB toujours en un même point I ;

2 Que le point S décrit un cercle qui a pour centre le point 1.

En effet, malgré la rotation de la ligne ab autour du point y, les distances de a et de b à y étant invariables, on peut regarder le points, dans chacune de ses positions, comme le sommet d'un faisceau par lequel les droites AB, ab sont divisées

160 châmtkk xii.

homographiquemenl : ici A correspond à a, B à b, y à luimême, el enfin, SI étant parallèle à ab, le point 1 sur AB est le correspondant de l'infini sur ab. Or, nous avons vu (105) que trois points correspondants A, B, y et a, b, y sur deux droites homographiques suffisaient pour trouver sur la première le point I, correspondant de l'infini sur la seconde. Donc ce point I est constant, ce qui démontre la première partie du lemme.

Quant à la seconde, les triangles semblables SBI et 6By donnent

SI BI 0¥ BI.*y

T y = Wy ° U SI = -BT

Cette valeur de SI étant constante, le point S décrit un cercle qui a pour centre le point I.

328. Le numéro précédent suppose que la^/îg". 98 est toujours dans un même plan.

Si, au contraire, la droite ab, en tournant autour de son point de rencontre y avec la ligne immobile AB, passe dans des plans différents, cette figure pourra toujours se construire dans chacun de ces plans et SI gardera toujours la même valeur : donc le point S décrira une sphère ayant le point I pour centre.

329. Étant donnés deux triangles homologiques, comme dans les n M 325 et 326, on appelle axe d'homologie la droite où se coupent les côtés correspondants. Cela posé, nous démontrerons le théorème suivant :

Quand deux triangles sont homologiques, si l'on fait tourner le plan de l'un d'eux autour de l'axe d'homologie, les droites qui joignent deux à deux leurs sommets homologues concourent en un même point, et ce point, variable de position, décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe d'homologie (fig. 99).

En effet, si Ton fait tourner le triangle acb autour de la droite ap, les deux droites AB, ab, qui se rencontrent en y, sont dans un même plan, et par conséquent les deux droites Aa, Bb se rencontrent, puisqu'elles sont dans ce plan. Pareillement la droite Aa rencontre la droite Ce, et celle-ci rencontre la droite B6. Or, ces trois droites Aa, B b et Ce qui se rencontrent deux à deux ne sont pas dans un même plan :

MOITES MOBILES, TRIANGLES HOMOLOGIQUES. l6l

il s'ensuit qu'elles se rencontrent en un même point S.

Menons par ce point, aux trois côtés du triangle abc, des parallèles qui, étant dans un même plan parallèle à celui du triangle, rencontreront les cotés de l'autre triangle ABC resté fixe en trois points I, J, K, situés sur une droite parallèle à l'axe d'homologie afiy, puisque cet axe est l'intersection du plan de ABC par le plan de abc, parallèle à celui qui passe en S. D'après ce qu'on a vu (328), ces trois points resteront fixes et seront les centres de trois sphères sur lesquelles se mouvra le point S. Donc ce point décrira un cercle, intersection commune de ces trois sphères : de plus, comme elles ont leurs centres sur la droite IJK, cette droite contiendra aussi le centre de ce cercle, dont le plan sera aussi perpendiculaire à IJK, ainsi qu'à sa parallèle a(3y.

On verra plus loin (370) une démonstration analytique du mêrtie théorème.

330. Les trois droites A«z, Bb, Ce concourant dans chaque position en un même point S de l'espace, les deux triangles sont toujours la perspective l'un de l'autre, ce point S étant 1a position de l'œil; on a donc aussi l'énoncé suivant :

Quand on a mis en perspective une figure plane sur un tableau plan 9 si Von fait tourner le tableau autour de la ligne de terre (on appelle ainsi l'intersection du plan de la figure par celui du tableau), les deux figures restent en perspective, et le lieu de l'œil, qui change de position dans l'espace, décrit un cercle situé dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre.