IV. — Notions sur les figuhes homologiques

331» II est évident que l'on peut étendre, comme nous venons de le faire, les résultats obtenus sur des triangles à des polygones et à des figures quelconques. Mais si le plan de la seconde figure abc finit par s'appliquer sur celui de la première ABC, il n'y a plus perspective proprement dite; cependant, comme les droites AB, BC, CA rencontrent toujours leurs homologues ab, bc, ca sur la droite fixe a(3y, les droites À a, Bb, Ce concourront toujours en un même point S (326) qui sera, sur le plan commun des deux figures, la position limite de l'œil.

ifo GHAMTBB XII. MOITU MOMU», TUAKOUS BOMOUMSIQCK.

On aura donc sur un plan deux figures telles, que les côtés correspondants se couperont sur une droite fixe, et que les droites qui joignent les sommets correspondants concourront en un point fixe. On les appelle des figures homologiques.

La droite fixe est Y axe d'homologie, et le point de concours est le centre d'homologie.

332. Cependant M. Poncelet, qui a donné ces définitions, considère, dans son Traité des Propriétés projectiles des figures, la génération des figures homologiques sous un autre point de vue.

Mettons en perspective, sur un tableau plan, deux figures homothétiques contenues dans un même plan (fig. 61); il sera facile de reconnaître que les perspectives de abc... et de a'b'c'. . . jouiront des deux propriétés qui définissent (331) les figures homologiques. D'abord, imaginons la droite qui joint la position S de l'œil au centre de similitude O des figures homothétiques : nous aurons ainsi la perspective 2 du point O. Comme Qa passe aussi en o*, le plan des droites S02 et Oa coupera le tableau suivant une droite qui contiendra à la fois la perspective de a et celle de d y c'est-à-dire que le point 2 sera le centre de similitude des deux figures.

Pour achever la démonstration, observons que les parallèles ab, a'b' sont projetées par les deux plans Sab, Sa'b' qui se coupent suivant une droite SA, évidemment parallèle à ces lignes; donc SA ne rencontrera pas le plan aba'b' où elles sont contenues, mais coupera le plan du tableau en un point A, qui sera l'intersection des projections de ab et de a'b'.

Chaque couple de côtés parallèles, dans les figures homothétiques, donnera ainsi une droite analogue à SA» et l'ensemble de ces droites, étant formé de lignes parallèles à un même pian, sera un plan parallèle à celui des figures homothétiques. Ce plan parallèle coupera donc le tableau suivant une droite parallèle à la ligne de terre, et qui contient l'intersection A des projections d'un couple quelconque de côtés parallèles; donc cette droite sera l'axe d'homologie.