Formules générales
* 333. D'après la définition des figures homologiques (331), il
est facile de résoudre le problème suivant : Étant donnés lès
éléments de l'homologie et un point de l'une des figures ,
trouver le point correspondant de l'autre figure (fig. ïoo).
Soient S le centre et aP Taxe d'homologie ; soient a et À deux points correspondants, qui sont placés, par conséquent, sur une droite passant en S; enGn soit b un point de l'une des figures: il est clair que, pour avoir son correspondant B, il faudra joindre ab qui coupe aP en a, joindre «A qui coupe &b en B, et que B sera le point demandé.
33^. Cette construction peut se traduire en calcul pour donner les formules de l'homologie. Nous prendrons pour axe des x la droite Sa A qui coupe l'axe d'homologie en P, et l'axe des y sera la parallèle menée du centre S à l'axe d'homologie: nous poserons SP =p 9 Sa = d, SA = <$', et enfin x et y seront les coordonnées de b, x' et y' celles de B.
Cela posé, on aura évidemment
Ensuite, soit aP = A, les triangles aaP, abn donnent
de même, les triangles AaP, ANB donnent aussi
164 ch a pitee xm.
divisant pour éliminer A, il reste
Nous allons exprimer x et y en fonction de ar* et de j', car l'équation d'une courbe en x et y donnera ainsi celle de la courbe homologique en x 7 et y'.
Il vient donc
d* « ou
et '
x'Sji'—p)
De là on tire
- x'djd— p)+.w(p — d) __ à( P —d)($'— x')
D'après cela, l'égalité (2) se réduit à
et il faut bien observer que le numérateur du dernier membre est constant.
Si l'origine, au lieu d'être le centre d'homologie S, était un point quelconque 0, les coordonnées du point S étant x , y ù9 les formules deviendraient
les coordonnées gardant encore la même direction.
335. Nous allons maintenant démontrer que si les coordonnées des points correspondants de deux figures homologiques sont liées, pour un certain système de coordonnées, par deux relations de la forme
y — y x' — x fx' -h my ' -h n
FIGURES HOMOJLOG1QUES. l65
tout autre système de coordonnées conduira à des équations de la même forme.
En effet, posons
* = aX-+-pY-hy, r =a'X-h|3'YH-/,
il en résultera
. «'(X-Xo)H-(y(Y-Yo) g(X — X,) + P(Y — Yo) a'(X' — X )H-(3'(Y' — Y )7 a (X' — X«)+(3(Y' — Y.)
LX' + MY'H-N Alors
a(X - Xo) 4- (3.(Y — Y») = A«(X' - X.) -h A(3(Y' — Y.),
et
a'(X — X.)+(3'(Y — Y.) = A«'(X'— X.) + AP'(Y' — Y.).
Multiplions la première égalité par (3', la seconde par (3, et retranchons; en supprimant le facteur commun a (3' — a' (3, il vient
X — X a = A(X'— Xo),
ou
de même,
A Xp .
X' — Xo . ; Y — Y
et enfin
Y ' — Y X — Xo Y — Y
