X. — Y' — Y LX' -+-MY'4- N

qui présente la même forme que les équations (5).

En divisant les deux termes du dernier membre par $ (d f — p) dans l'équation (4), on trouve un cas particulier des équations (5) qui, par conséquent, représentent Thomologie d'une manière générale.

336. Maintenant nous allons, au contraire, prendre ces équations (5) comme définition de I'homologie, et en conclure les propriétés géométriques exposées au n° 331.

t66 CHAPITRE XIII. ,

D'abord on reconnaîtra qu'une droite d'un système correspond à une droite de l'autre; car si la fonction en x et y est du premier degré, la fonction en x r et y' que Ton obtiendra en remplaçant, d'après les équations (5), x et y par leurs valeurs, sera aussi du premier degré. En général, le degré des lignes ne change pas par l*homologie.

Ensuite, les points communs aux deux systèmes donnant

les équations (5) reviennent à

lx'-\-m/ -h n 9

c'est-à-dire que Ton a

ïx* -\-mf -\-n = i, ou bien lx-t-my-i-n = i*

C'est l'équation d'une droite qui sera Yaxe d'homologie; car il est clair, à plus forte raison, que les droites correspondantes des deux systèmes se couperont sur ce lieu géométrique.

Enfin, deux points correspondants sont sur une droite qui passe par un centre constant d'homologie représenté parx,,^,. En effet, les équations (5) donnent

X ™ ~ " Xq iMi " p— ~" X §

ce qui démontre ce dernier théorème.

337. Nous venons de voir que l'axe d'homologie est généralement le lieu des points qui se correspondent à eux-mêmes. Cependant, en dehors de cet axe, le centre d'homologie est à lui-même son correspondant : en effet, si l'on a

x — x t9 y — jo>

il en résulte

X > — xr , y — y 99

et réciproquement.

Si une droite est parallèle à taxe d'homologie, la droite correspondante est aussi parallèle à cet axe, car nous venons de voir que le point de concours 3e ces droites correspondantes est sur l'axe d'homologie; or, comme la première est parallèle à cet axe, la seconde doit ne le rencontrer qu'à l'infini.

FIGUBE* BOMOLOÛIQUES. 167

L'homologie étant un cas particulier de Ja perspective ( 331 ), quatre points d'une figure ont le même rapport anharmonique que leurs correspondants de Vautre figure; de même, les rapports anharmoniques de deux faisceaux correspondants de quatre droites seront égaux. Mais cette réduction de l'homologie à la perspective et, par suite, les théorèmes précédents, seront démontrés par l'analyse ( 369 ) en partan t des formules( 5 ).

Observons enfin que les équations

y' — y % x' -r- x» lof 4- my' H- n

donnent symétriquement

Les équations (5) ont donné

Ix -h my H- n — i = o

pour équation de Taxe d'homologie •: les équations (6) donneraient de même

Vx 4- m' y -f- n' — i = o.

On aura donc les identités