II. — Application aux coniques

338. Deux coniques quelconques sur un même plan sont toujours deux figures homologiques.

Soient S = o, S' = o les équations de ces coniques; le théorème sera démontré si Ton peut, en remplaçant dans la première de ces équations x et y par leurs valeurs tirées des équations (5), reproduire l'équation de la seconde. Or cela est toujours possible en général, car l'équation d'une conique n'a que cinq coefficients, et l'on a ici cinq quantités à déterminer, savoir : x 9j y 9 , t> m et n.

On trouve donc tous les éléments de l'homologie. Du reste,

l68 CBlHTftE IIII.

cette propriété fondamentale des coniques est évidente d'après le n° 331, dans lequel nous avons vu que l'homologie était un cas particulier de, la perspective, théorème que nous démontrerons encore par l'analyse au n* 369.

339. Le centre d'homologie de deux coniques est le point de concours de deux tangentes communes à ces courbes.

Du centre d'homologie, quel qu'il soit» menons à la première conique deux tangentes dont chacune rencontrera cette courbe en deux points inûniment voisins; les homologues de ces points, sur la seconde courbe, seront aussi inûniment voisins deux à deux; par conséquent, les droites homologues des tangentes à la première courbe seront des tangentes à la seconde. Cependant toutes ces tangentes peuvent êlre imaginaires.

Nous reconnaîtrons bientôt (347) que la réciproque n'est pas vraie, c'est-à-dire que le point de concours de deux tangentes communes n'est pas toujours un centre d'homologie.

340. L'axe d'homologie de deux coniques est une corde commune à ces courbes.

En effet, chacun des points où l'axe d'homologie rencontre la première conique étant son homologue à lui-même (336) se trouve aussi sur la seconde.

Cet axe étant une sécante réelle, rien n'empêche cependant les points communs d'être imaginaires.

341. Pour plus de simplicité, prenons l'origine au centre d'homologie. Ce point étant l'intersection de deux tangentes communes (339), l'équation S = o sera de la forme

af 1 H- bxy -h ex 2 — À (px H- qy + 1 )' = o.

Ici, en effet, l'équation

ay 3 -h bxy -J- ex 2 = o

représente l'ensemble des tangentes réelles ou imaginaires conjuguées qui passent par l'origine; car, si cette équation est satisfaite, on ne peut plus satisfaire à celle de la conique qu'en écrivant l'équation du premier degré

px -f- qy + i = o,

FIGURES HOMOLOGIQUES. l6g

Par conséquent, chacune de ces droites, passant à l'origine, ne rencontre la courbe qu'en un point.

De plus, comme ces deux points de contact sont sur la droite qui a pour équation px -+- q y -f- 1 = o, on voit que cette équation' représente la polaire du centre d'homologie, qui est ici l'origine. ,