L'équation S' = o de l'autre conique sera de la forme
ay' 2 -h bx' y' -h ex'* — V {p f x' -h q'y' -+- 1 Y = o.
Ici a, b, c sont les mêmes quantités que dans S = o, puisqu'il s'agit de tangentes communes aux deux coniques.
Afin d'établir entre les autres coefficients de ces équations les ceftiditions nécessaires pour que ces coniques soient homologiques, il faudra poser dans S = o (puisque x t et y Q sont nuls)
ix' -h my' H- n J lx' ~\- my' -+■ n
Après cela, supprimant le dénominateur (lx* -+>my r + «)', on a
ay'* 4- bx f y f -h ex 1 * — X [#' (p 4- /) 4- y' '{q 4- /») 4- i»]' = o.
Afin d'identifier avec S' = o celte transformée de S = o, il suffit de poser
Comme l'identification doit être vraie pour toutes les valeurs de x' et de y' f on a
yjj = q + m 9 ^yj=^ + /.
(Si le trinôme /7# 4- qy-hi avait été écrit au premier degré et non au second, les termes du second degré auraient été les mêmes dans les équations des deux coniques, et ces courbes auraient été semblables, cas particulier que l'on ne suppose "point. )
343. A un centre d'homologie de deux coniques correspondent deux axes d'homologie. .
>7° chapiteb un.
Nous avons vu (336) que l'axe d'homologie avait pour équation
lx H- my -+- n — i = o.
Mais, d'après le numéro précédent, / = p'n — p, m = q'n — q 9 de sorte que cette équation devient
(P' n — P) x + ( q'n— q)x H- n — i = o, ou bien
fi
344. On vérifie ainsi le théorème du n° 340; car, si Ton retranche les équations S = o, S' = o, il reste, d'après la forme de ces équations ( 341 et 342 ),
1' {p'x -h g'j4- 1)> = Hpx -hqy-h i)% d'où
y [p'x + q'y-hi) s^ + çt'+i;
ainsi l'on retombe sur l'équation précédente. Or, en retranchant S = o et S' = o, on obtient évidemment des sécantes communes.
Outre cela, nous avons vu (341) que les équations
px -t-qy+i = o, p'x + q'jr-h i = o,
représentaient les polaires du centre d'homologie relativement à chacune des coniques. Or, d'après ce que nous venons de voir, l'ensemble de ces équations satisfera celle des deux axes d'homologie : donc V intersection des axes d'homologie est aussi celle des polaires du centre d'homologie relativement à chaque conique.
345. Si deux coniques ont un même point de contact avec une même droite, ce point est un centre d'homologie; on dit alors que les coniques se touchent.
Une conique tangente en un point donné, que nous prendrons pour origine, à une droite fixe, qui sera l'axe des abscisses, aura pour équation
x i — y(aa?-f-(5/-f-y) = o.
FIGUR1S H0MOL0GIQUBS. 171
En effet, si Ton pose ^ = 0, il reste la seule valeur x = o, ce qui montre que Taxe des abscisses est tangent à l'origine. On ne met ici que trois constantes a, (3, y, parce que la tangente et le point de contact font deux conditions.
. Maintenant, si Ton pose
lx' -h my' H- n lx' 4- my' -+- n
il est clair que Ton obtiendra une équation de même forme ; par conséquent» la conique homologique de la première, et ayant l'origine pour centre d'homologie, sera aussi tangente en un même point à la même droite.
On aurait pu prévoir ce théorème d'après les résultats précédents; mais, quoique la tangente commune, ayant le même point de contact avec les deux courbes, puisse être regardée comme une sécante commune, rien n'aurait prouvé que cette sécante fût une de celles qui servent d'axe d'homologie.
346. Si deux coniques ont un foyer commun, ce point est un centre d'homologie.
L'équation d'une conique rapportée à un foyer comme origine, avec des axes rectangulaires, est de la forme
x 2 -hy a — (a# + PjH-y) 2 =o,
car cette relation indique que la distance d'un point de la courbe à l'origine est proportionnelle à la distance de ce même point de la courbe à une droite fixe.
Si l'on pose
lx' -h my + n J lx'-h my+ n
on obtiendra une équation de même forme représentant une conique qui aura encore l'origine pour foyer, mais avec une autre directrice. Comme chacune de ces coniques aura, dans son équation « trois constantes arbitraires, elles sont quelconques, sauf leur foyer commun qui équivaut à deux conditions : du reste, comme elles sont homologiques, le théorème est démontré.
Cela rentre dans la théorie du n° 339 ; en effet on sait, et
17? CHAPITHB XIII.
d'ailleurs il serait facile de vérifier, que le coefficient angulaire des tangentes menées à une conique par l'un de ses foyers est
zfcy 7 — i, les coordonnées étant rectangulaires. Donc ces tangentes imaginaires seront les mêmes pour deux coniques qui auront ce foyer commun.
347. Nous avons posé (341 et 342) les équations S = o 9 S' = o, de deux coniques ayant pour tangentes communes deux droites dont l'intersection est prise pour origine et dont l'ensemble est représenté par ay 2 -H bxy -h ex* = o , ces droites étant réelles ou imaginaires. On a aussi déterminé (343) les deux axes d'homologie correspondant à l'origine, en partant
de I. relaUo» » = ±V /f ; ™U ce.» dé.en.toUo» de,..».
illusoire si X et X' sont de signe contraire. Ainsi l'intersection de ces tangentes communes est un centre d'homologie si X et)/ sont de même signe; il n'en est plus de même dans le cas contraire.
Il est important de voir la signification géométrique de ce résultat dans le cas où ces tangentes communes sont réelles. Prenons alors ces tangentes pour axes des coordonnées; l'équation S = o devient xy= t (px 4- qy •+• i ) 2 ; en effet, il faut
que a soit nul pour que x = o donne une seule valeur de y, et que c soit nul aussi pour que y=o donne une seule valeur de x.
On aura de même, pour S' = o,
x'y' = j [px' 4- q' y' H- i ) a ;
du reste, il est clair que b ne peut être nul, sans quoi chacune des coniques se réduirait à une droite.
Or, si X et X' sont de même signe, il est visible que xy et x'y' sont aussi de même signe. Ainsi, le point de concours de deux tangentes réelles à deux coniques est un centre d'homologie, si ces deux coniques sont comprises dans le même angle de ces tangentes ou dans les angles opposés au sommet.
Au contraire, si les angles qui contiennent chacune de ces coniques étaient supplémentaires, leur sommet ne serait point un centre d'homologie.
FIGURIS HOMOLOGIQUBS. 1 73
